Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с z угловой скоростью ω (рис)

Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с z угловой скоростью ω (рис). Вычислим кинети. момент этого тела относительно оси его вращения. Момент количества движения точки M_i тело относительно оси z: где L_iz = m_iυ_iz_i (a), r_i - радиус окружности описываемой точкой M_i; υ_i = r_i ω - алгебраическая величина вращательной скорости точки M_i. Подставляя в (а) это значение υ_i, получаем L_iz = m_ir_i²ω. Кинетический момент твердого тела относительно оси z: Здесь L_z = ∑ L_iz = ∑ m_ir_i²ω = ω∑ m_ir_i², ∑ m_ir_i² = J_z - момент инерции твёрдого тела относительно оси z. Таким образом,

L_z = J_zω (в) т.е. кинет. момент вращающегося тела относительно неподвижной оси его вращения = произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела.

Рассмотри изменение кинет. момента тела относительно оси z под действием приложенных к нему задаваемых внешних сил P₁^E, P₂^E,…, P_n^E

Теорема об изменении кинет. момент мех. сис. выражается уравнением:

dL_z /dt = ∑ M_iz^E (г). Реакции подшипника В и подпятника А явл. внешними силами, но при отсутствии трения их моменты относительно оси z = 0 и правая часть уравнения (г) содержит только сумму моментов задаваемых внешних сил. При наличии трения эта сумма содержит также момент сил трения. Так как по (в): L_z = J_zω = J_zφ, то dL_z/dt = J_zφ, а потом уравнение (г)принимает вид: J_zφ = ∑ M_iz^E (е). Уравнение (е)представляет собой диф. уравн. вращения тв. тела вокруг неподвижной оси.

Динамические давления в гироскопе.

Пользуясь теоремой Резаля и формулой u = L_cω₁ = J _ζωω₁, получаем

M_C^E = u = J_ζωω_1, тогда динамические реакции подшипников

R_A^дин = R_B^дин = J_ζωω₁/AB

Давление рамы на подшипники противоположны по направлению соответсвующим реакциям подшипников и равны им по модулю.

P_A^дин = -R_A^дин; P_B^дин = -R_B^дин; P_A^дин = P_B^дин = J_ζωω₁/AB

Диф. уравнение движения свобод. мат. точ. в декарт.

mx = ∑ P_кx }; my =∑ P_кy }; mz =∑ P_кz }