Принцип Гамильтона (наименьшего действия)

Пусть - вариация координаты (произвольное изменение координаты в данный момент времени). Будем рассматривать бесконечно малые , следовательно, 2-я возможная траектория будет в непосредственной близости от 1-ой. Возможная траектория – траектория, которая может получиться при данных взаимодействиях. Возможных траекторий много, реальных – одна. В начальной и конечной точке траектории вариации координат равны нулю:

, т.е. и коммутативны:

Будем искать первую вариацию (линейную вариацию по вариацию аргумента).

Введём функционал:

- функция Лагранжа, функция динамических переменных и времени.

Принцип наименьшего действия:

Из всех возможных траекторий, между данными точками, механической системы в конфигурационном пространстве реализуется та, для которой первая вариация действия равна нулю:

Найдём :

Тогда:

Первое слагаемое в правой части данного выражения равно нулю, тогда остаётся:

Координаты независимы, вариации этих координат так же независимы. Условие независимости означает, что все коэффициенты при равны нулю. В результате получаем:

,

Мы получили уравнения движения Лагранжа. Это дифференциальные уравнения второго порядка, что бы их решить, нужны начальные условия: и . В результате получим закон движения