Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (КП)

КП – это n – мерное пространство обобщенных координат.

- радиус вектор в D-пространстве.

Реальному пространству ставим в соответствие КП

→

КП – служит для технического упрощения решения задач. Одна точка в КП изображает положение системы N материальных точек в реальном D-мерном пространстве.

Система материальных точек находится во внешнем поле, и они могут взаимодействовать между собой, поэтому движутся по каким-то траекториям. Изменение реальных координат приводит к изменению обобщенных координат. Движение реальных точек приводит к движению изображающей точки. Таким образом, эволюция системы (движение точек в реальном пространстве) описывается движением изображающей точки в КП. В результате в КП получаем траекторию.

Говоря о траектории системы, будем иметь в виду траекторию изображающей точки в КП.

Эволюция системы – это движение в реальном пространстве реальных точек по реальным траекториям.

- -тая обобщённая координата, _.

Итак, имеется траектория в КП. Проведём касательный вектор - обобщенная скорость.

Чтобы описать движение системы надо знать положение точки в любой момент времени – закон движения:

Найти такую зависимость можно из закона Ньютона:

(2.1)

Решением этого уравнения будет некоторый закон движения .

Уравнение (2.1) – дифференциальное уравнение второго порядка, следовательно необходимо два начальных условия:

(2.2)

Уравнений должно быть столько, сколько степеней свободы.

Переменные вида (2.2) называются динамическими переменными – это координаты и скорости в данный момент времени. и - также динамические переменные. Зная и мы задаём механическое состояние системы в начальный момент времени.

Зная все силы, действующие на рассматриваемую систему, можно построить траекторию движения, если при этом решить уравнение движения.