Энергия деформации при изгибе. Теорема Кастильяна

Пусть балка нагружена системой сил Т и силой F. Требуется определить перемещение точки под силой F в ее направлении.

Определим потенциальную энергию деформации балки силами Т и F, которая равна работе, совершаемой этими силами на перемещениях точек, в которых силы приложены.

Запишем выражение для U (потенц. энергия) с учетом последовательности нагружения балки внешними силами.

1) К балке прикладываем силу F, тогда потенциальная энергия деформации системы силой F: U_F=½FΔ_FF.

2) Прикладываем систему сил Т, под действием которой точка под силой F получит дополнительное перемещение Δ_FT. Сила F на перемещение Δ_FT совершает работу: А_FT= FΔ_FT

(Нет 1\2, т.к. сила F уже имела конечное значение; есть 1/2, если сила статически приложена, т.е. во время совершения работы она увеличивается от 0 до конечного значения без рывков и ударов медленно).

Потенциальная энергия деформации равна работе всех сил на их перемещение: U=А_F+A_FT+U_TT

Где U_TT –потенциальная энергия, накапливаемая балкой в результате ее деформации силами системы Т.

U =½FΔ_FT +FΔ_FT+U_TT

Введем новый параметр: удельное перемещение [δ] – перемещение точки под единичной силой F¯=1Н в направлении ее действия, если вместо силы F приложить единичную силу в ее направлении, то получим перемещение Δ_FF.

Δ_FF=Fδ_FF – связь истинного и удельного перемещения.

U=½F²Δ_FF+FΔ_FT+U_TT

Возьмем частную производную по F от U:

∂U/∂F=Fδ_FF+Δ_FT=Δ_F – полное перемещение точки под силой F в ее направлении от действия всех сил приложенных к балке (F+Т).

Теорема Кастильяна: Перемещение точки под силой в ее направлении, равно частной производной от потенциальной энергии деформации системы по этой силе.

U=å_iⁿ₌₁∫_LiM²(x)dx/2EI_Z; Δ_F=∂U/∂F= =å_i∫_Li((M(x)/EI_Z)(∂M/∂F)dx).

Метод Кастильяна используют для определения перемещений в оболочках, пластинах, массивах.

Если необходимо найти перемещение точки, в которой не приложена внешняя сила, то

1) В т.К прикладываем фиктивную силу по направлению искомого перемещения (если нужно определить угол поворота θ, то прикладываем фиктивный момент).

2) Записывают выражение М(х) с учетом F_Ф (реакции опор находят с учетом F_Ф).

3) Записывают интеграл метода Кастильяна в который уже включили производную от М(х)по F_Ф, т.е. ∂М(х)/∂F_Ф. В этом интеграле вместо F_Ф пишем нуль.

4) Интегрируем и получаем результат.