Основы напряженного состояния в точки. Главные площадки и главные напряжения. Прямая и обратные задачи. Линейное напряженное состояние

Через произвольную точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, на которых возникает напряжение σ и τ, в общем случае отличающиеся друг от друга в зависимости от ориентации площадки. Совокупность напряжений, возникающих на множестве площадок, проведенных через рассматриваемую точку, называют напряженным состоянием в точке.

В окрестности точки В вырезаем элементарные параллелепипед. Поворачивая элементарный параллелепипед вокруг т.В, можно найти такое его положение, при котором на гранях действует только нормальное напряжение, а касательное будет равным 0. Теория упругости доказывает, что для любого тела при любой нагрузке для любой точки можно найти такую ориентацию параллелепипеда, и это будет единственное его положение. Такие площадки, на которых действуют нормальные напряжения, называются главными. Напряжения σ на этих площадках – главные напряжения. Направления σ – главные направления. Р – полное напряжения на рассматриваемой площадке. Если в задаче одно из главных напряжений не равно 0, то такие задачи называются одноосными или линейными. Если не равны 0 два главные напряжения – двухосные или плоские. Если не равны 0 три главные напряжения – трехосные или пространственные.

Прямая задача:

n_α – нормаль к площадке А_α; n – нормаль к площадке наибольшего главного напряжения; α – острый угол между n_α и n, причем если поворот от n к n_α по часовой стрелке, то α – отрицательный, если против – положительный.

Дано: σ₁; σ₂; α.

Определить: σ_α, τ_α, σ_β, τ_β.

σ_α – результат действия σ₁ и σ₂.

Обратная задача:

Дано: σ_α, τ_α, σ_β, τ_β.

Найти: σ₁; σ₂; α.

Решая совместно системы (3) и (4) получим:

σ₁=½[(σ_α+σ_β)+√((σ_α–σ_β)+4τ²α)];

σ₂=½[(σ_α+σ_β)–√((σ_α–σ_β)+4τ²α)];

σ₁ – напряжение алгебраически больше из двух полученных. Если одно из двух чисел отрицательно, то имеем σ₁ и σ₃. Если оба отрицательны, то σ₂ и σ₃. Если α отрицательное, то по часовой стрелке. Если α положительное, против часовой. Получаем направление σ₁, т.е. наибольшее главное напряжение.

Линейное напряженное состояние.

n_α – нормаль к сечению А_α; n – нормаль к поперечному сечению; α – положительное – против часовой стрелки; σ – положительное – направлена вдоль внешней нормали к рассматриваемой площадке; τ – положительное – если стремится повернуть рассматриваемый элемент по часовой стрелке относительно любой точки внутри его.

Сумма напряжений на двух взаимно перпендикулярных наклонных площадках всегда равна напряжению в поперечном сечении, независимо от ориентации площадки. Наибольшее касательное напряжение возникает на площадках под углом 45 градусов к главным.