Закон парности касательных напряжений

Выберем плоскость XOY

Касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам всегда равны и направлены на встречу друг другу, и наоборот.

Напряженное состояние точки определяется шестью компонентами:

s_x, s_y, s_z,

t_xy = t_yx,

t_xz = t_zx,

t_zy = t_yz.

Тензором напряжения называется матрица вида

`n - внешняя нормаль к наклонной площадке

`P_n - вектор полного напряжения

s_n - вектор нормального напряжения

t_n - вектор касательного напряжения

В теории упругости доказывается, что`P<sub>n</sub> = (s)×`n или P_n = T_s×n

X, Y, Z – проекции полного напряжения на оси

Обозначим

Cпроецируем все силы на соответствующие оси координат.

Формулы для определения проекций вектора полного напряжения на оси x, y, z.

Предположим, что наклонная площадка BCD является главной

S – три корня кубического уравнения, которые представляют собой главные напряжения

Индексы главным напряжениям присваиваются в порядке убывания с учетом знака.

Инварианты напряженного состояния – это величины, не изменяющиеся при любом наклоне площадки.

Если все три инварианта отличны от нуля, то напряженное состояние называется объемным.

Если один инвариант равен нулю, а два отличны – плоское напряженное состояние.

Если два равны нулю, а один отличен – линейное напряженное состояние.

Инварианты могут быть как положительными, так и отрицательными величинами.

P_n = (s)×`n или P_n = T_s×n

Существует три вида напряженного состояния:

1. Одноосное (линейное), при котором одно из главных напряжений отлично от нуля, а два равны нулю.

2. Двухосное (плоское) – два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю.

3. Трехосное (объемное) – все три главных напряжения отличны от нуля.

Главные напряжения s₁, s₂, s₃ – вещественны. Размерность – [МПа], [Н/м²]

§31. Линейное напряженное состояние.

Линейное напряженное состояние возникает при центральном и (или) нецентральном растяжении-сжатии, при чистом изгибе и при косом изгибе.

1. При a=0 (sina=0, cosa=1)

2. При a=90⁰ (sina=1, cosa=0)

3. При a=45⁰ (sina=cosa= )

Максимальные касательные напряжения возникают на наклонных площадках под углом 45⁰.

Плоское напряженное (двухосное) состояние.

Плоское напряженное состояние возникает при поперечном изгибе, кручении, в элементах тонкостенных оболочек, нагруженных вешним или внутренним давлением.

Рассмотрим элемент при двухосном напряженном состоянии.

Экспериментальные значения напряжений:

Площадки, по которым касательные напряжения достигают экстремальных значений, называются площадками сдвига.

Рассмотрим, как определяются главные напряжения при заданных нормальных или касательных.

Уравнение вида ax² + bx + c = 0

Формула для определения двух неизвестных главных напряжений при одном известном.

Полное напряжение на наклонной площадке.

Направление главных площадок находим из уравнения t_a=0

a - угол наклона главных площадок от направления s_x против хода часовой стрелки – положителен.

§33. Круги Мора при плоском напряжённом состоянии.

В теории напряжённого состояния различают две основные задачи:

1. По известным в точке главным площадкам и главным напряжениям определить нормальные и касательные напряжения, действующие на наклонных площадках (прямая задача).

2. По известным касательным и нормальным напряжениям на наклонных площадках требуется найти главные направления, главные напряжения и угол наклона a (обратная задача).

Графическое решение задач – при помощи кругов Мора.

Расчеты на прочность статически определимой балки при изгибе.

1. Подбор стандартного двутавра по сортаменту.

2. Подбор заданного сечения (определить его высоты).

3.Сравнение двух вариантов сечения.

Дано: материал – Сталь 3

s_т. – 240 МПа

n_т.=1,5

Найти: h_двут.

h_{зад.сеч.}

Опора В – опасное сечение

Условие прочности

Ближайшее значение W_x ГОСТ = 289 см³

Двутавр №24

F = 34.8 см², h = 24 см

Проверим выполнение условия прочности:

Если W^ГОСТ выбирается в меньшую сторону от W_x расчётного, то система будет работать с перенапряжением, величина которой не должна превышать 5%.

Найдём центр тяжести системы:

Определим момент сопротивления сечения.

Истинный момент сопротивления сечения.

Приравниваем истинный и расчетный моменты.

Формула Навье.

Точка 1.

Точка 2.

Точка 3.

Точка 4.

Точка 5.

По формуле Журавского:

Точка 1.

Точка 2.

Точка 3.

Точка 4.

Точка 5.

Определённый вид напряжённого состояния в характерных точках.

Точка 1.

Все напряжения s являются главными

Точка 2.

(b=0.3h)

Точка 2.

Точка 3.

Дано: s₁, s₂, a

Найти: s_a, t_a, s_b, t_b

§34. Объёмное (трёхосное) напряженное состояние.

Объёмное напряжённое состояние возникает при совместном действии изгиба и растяжения-сжатия, кручения и растяжения-сжатия, при нагреве и охлаждении тел, при одновременном действии наружного и внутреннего давления в сосудах.

В площадке 1 нормальные и касательные напряжения не будут зависеть от s₁, а будут зависеть от s₂ и s₃; в площадке 2 – от s₁ и s₃; в площадке 3 – от s₁ и s₂

Построим круги Мора для трёхосного напряжённого состояния.

Доказывается, что D_a (s_a,t_a) всегда будет лежать в заштрихованной области или на её границе.

Все площадки октаэдра называются октаэдрическими площадками. Угол наклона площадки к

s₁, s₂, s₃ равен 45⁰

Рассмотрим деформацию прямоугольного параллелепипеда.

Главные линейные относительные деформации.

Обобщённый закон Гука

Позволяет установить величину коэффициента Пуансона для изотропного тела