Задачи по теме: «Динамика»

Задача №1. В поднимающейся кабине лифта определяют вес тела с помощью динамометра. Масса тела равна 5 кг, показания динамометра 55 Н. Найти ускорение кабины?

Решение:

По четвёртой аксиоме Ньютона: сумма действующих на тело сил равна произведению массы тела на ускорение.

В проекциях на координатную ось ОУ:

N - m∙g = т∙а

Задача №2. Торможение автомобиля началось при его скорости V= 72 км/ч.

Определить тормозной путь, если коэффициент трения колёс о дорогу

f = 0, 34.

Решение:

По теореме об изменении кинетической энергии остановка автомобиля произойдёт за счёт работы силы трения, которая поглотит всю кинетическую энергию. Конечная скорость автомобиля V_К =0.

Задача №3. Насос приводится в действие двигателем мощностью N_З = 4 л. с.; 1 л. с. =736 Вт.

К. п. д. насоса . Сколько времени будет затрачено для подъёма

8000 м³ воды на высоту h = 4 м, плотность воды ρ = 10³ кг/м³.

Решение:

Задача №4. Пуля, массой m=10 г., летевшая со скоростью V₀ =400 м/с, пробив

доску толшиной S=5 cм уменьшила скорость вдвое V_К= V_O/2. Определить среднюю силу сопротивления доски. За какое время пуля пройдёт это расстояние?

Решение:

По теореме об изменении кинетической энергии изменение скорости произойдёт за счёт работы силы сопротивления.

Определяем время:

Задача№5. Найти силу давления между зубьями двух шестерён,

находящихся в зацеплении, если одна из шестерён имеет диаметр 100 мм и передает мощность 44 кВт при частоте вращения n =2400 об/мин

Решение:

Определим вращательный момент:

М _ВР = Р∙R

Передаваемая мощность:

N= М _ВР ∙ω = М_ВР∙

Задача №6. Шарик массой m=2 кг, подвешен на нить длиной 60 см. Шарик равномерно движется по окружности. Угол между нитью и осью ОУ α=30 ⁰.

Определить силу натяжения нити и скорость шарика.

Решение:

Так как вращение равномерное, то будет только центростремительное ускорение:

Если добавить к системе сил центобежную силу инерции, то можно решить

задачу с помощью метода Даламбера (или метод кинетостатики). Активные силы, силы реакции связей и сила инерции представляют уравновешенную систему сил:

В проекциях на оси декартовой системы координат:

SХ_i= T∙sin∝ - Q_ИН = 0

SY_i= T∙соs∝ - G = 0

Q_ИН = T∙sin∝=22,7 ∙ 0,5=11,3 Н

Задача №7. В период пуска электродвигателя его ротор вращается под действием постоянного момента М_ВР=80 Н∙м. В подшипниках возникает момент трения М_ТР=5 Н∙м. Считая ротор однородным диском массой

m=100 кг., диаметр ротора d=0,4м. Определить сколько оборотов N сделает ротор за 6 секунд и угловую скорость ω в конце 10 – ой секунды?

Решение:

Применим для решения основное уравнение динамики при вращательном движении:

М= М_ВР - М_ТР=J∙ε

Осевой момент инерции диска:

ε- угловое ускорение

80 – 5 =

ε= 37,5 рад/с²

Задача №8. Одинаковые зубчатые колёса 1 и 2 массой m=2 кг приводятся в движение из состояния покоя постоянным моментом пары сил М=1 Н∙м. Определить угловую скорость колёс после двух оборотов, если радиус инерции каждого из колёс относительно оси вращения равен ρ=0,2 м.

Решение:

Применим для решения основное уравнение динамики при вращательном движении:

М_ВР = J ∙ ε

J = m ∙ ρ²= 2 ∙ 0,2²= 0,08 кг∙м²

Задача №9. Тело массой m=1 кг падает по вертикали, сила сопротивления воздуха R=0,03∙v. Определить максимальную скорость падения тела.

Решение:

Применим четвёртую аксиому Ньютона (обобщённый второй закон).

Проецируем действующие силы на ось ОУ, направленную вниз:

Скорость будет максимальной, если первая производная скорости будет равна нулю.

Задача №10. Грузы 1 и 2 массой m₁=2 кг и m₂=1кг подвешены к концам гибкой нити, перекинутой через блок. Определить скорость груза 1 в момент времени, когда он опустился на высоту h=3 м. Движение грузов начинается из состояния покоя.

Решение:

Проецируем силы, действующие на первый груз, на ось ОУ, направленную вниз:

Нить нерастяжима, поэтому

Определим ускорение первого груза:

Движение груза равноускоренное, определим время из уравнения движения:

Определим скорость первого груза:

Задача №11. Материальную точку весом Р =30 Н перемещают вниз по гладкой наклонной плоскости на расстояние l =50 м. Наклонная плоскость составляет угол α =60⁰ с горизонтом. Определить работу силы тяжести на этом перемещении.

Решение:

При движении груза вниз работа будет положительная

Задача №12. На материальную точку массой m=250 кг, которая движется по горизонтальной прямой, действует сила сопротивления R=5∙v².

Определить скорость точки в момент времени t=6 c., если при t₀=0 скорость v₀=20 м/с.

Решение:

Для решения применим теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме.

Запишем это уравнения в проекциях на координатную ось ОХ, разделив переменные:

Проинтегрируем и левую и правую часть:

Выразим v:

Задача №13. Материальная точка массой m=0,2 кг движется вдоль оси Ох под действием F_х = -0,4∙t H. Определить скорость точки в момент времени t=2 c, если её начальная скорость v_ох=6 м/с.

Решение:

Значение силы зависит от времени, значит задачу нужно решать по теореме об изменении количества движения в дифференциальной форме:

Проинтегрируем левую и правую часть:

Задача №14. Чему равна кинетическая энергия зубчатой передачи двух цилиндрических колёс с числом зубьев z₂=2∙z₁, если их моменты инерции относительно их осей вращения J₂=2∙J₁=2 кг∙м². Угловая скорость колеса 1 ω₁=10 рад/с.

Решение:

Определим угловую скорость второго колеса из условия постоянства вращательного момента М _вр = J∙ε =const:

Значит справедливо следующее соотношение:

Определим кинетическую энергию зубчатой передачи при вращательном движении:

Задача №15. Определить кинетическую энергию системы из двух одинаковых зубчатых колёс массой m=0,5 кг каждое, вращающихся с угловой скоростью ω=10 рад/с, соединённых между собой гибкой нитью, движущихся по горизонтальной плоскости, имея начальную скорость v_о=2 м/с. Радиус инерции каждого колеса относительно оси вращения равен ρ=0,2 м.

Решение:

Определим кинетическую энергию зубчатой передачи при плоском движении:

Задача №16. Материальная точка М движется по вертикали под действием только силы тяжести. Определить через какое время эта точка достигнет максимальной высоты, если её начальная скорость v_о=9,81 м/с.

Решение:

На максимальной высоте конечная скорость будет равна нулю.

Задача №17. Материальная точка массой m=4 кг движется по прямой под действием силы F=30∙sin(t) Н. через время Т=π сек. скорость точки стала равна v=20 м/c и направлена так же как сила. Определить начальную скорость точки v₀.

Решение:

Значение силы зависит от времени, следовательно задачу нужно решать по теореме об изменении количества движения в дифференциальной форме:

Проинтегрируем левую и правую часть:

Список литературы.

1. Добронравов В. В., Никитин Н. Н., Дворников А. Л. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 2003.-526 с.

2. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике.- М.: Наука, 2001.-484с.

3. Яблонский А. А.- Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 2003.-628 с.