Анализ. Геометрическая сторона задачи

Чтобы получить недостающее уравнение, рассмотрим условие совместности деформаций стержневой системы. В результате внешних воздействий (F, δ, ∆t) элементы конструкции деформируются, т.е. стержни удлиняются или укорачиваются, вследствие чего узел D переместится и займёт некоторое новое положение D ₁ (рис. 2.3). Показываем абсолютные деформации ∆ l_i, опуская перпендикуляры из т. D ₁ на исходные направления стержней, и устанавливаем зависимость (2.3) между полученными отрезками на основе элементарной геометрии.

Разлагаем полное перемещение DD ₁ на две взаимно перпендикулярные составляющие: вдоль среднего стержня № 2 и перпендикулярно среднему стержню. Проецируем ломаную последовательно на направления всех стержней. Из рассмотрения рис. 2.3 замечаем, что

; (2.9 а)

; (2.9 б)

. (2.9 в)

Здесь через и обозначены проекции и на направление i -го стержня. Умножая (2.9 а) на , a (2.9 в) на и почленно вычитая, получаем с учетом (2.9 б)

или .

Подставляя значения углов , (п. 2.3.2) и неточность изготовления δ ₁, получаем недостающее уравнение, связывающее абсолютные деформации трёх стержней,

0,81917∆ l ₁ – 0,96594∆ l ₂ – 0,34204∆ l ₃ = 1,63834. (2.10)

Рекомендуется проверить уравнение (2.10) путём измерений ∆ l_i по чертежу (с учётом масштаба для деформации М 10:1) с последующей подстановкой в уравнение. Для примера получаем

∆ l ₁ = 5,5 см; ∆ l ₂ = 2,3 см; ∆ l ₃ = 2,0 см;

0,81917∙5,5 – 0,96594∙2,3 – 0,34204∙2,0 = 1,59969 ≃ 1,63834.

Уравнение (2.10) выполняется с небольшой относительной погрешностью ⋍2,4 %, что вполне допустимо при измерениях отрезков линейкой. Если погрешность превышает 3 % необходимо найти и исправить ошибки при составлении уравнения (2.10).