Расчеты на прочность и жесткость

Рисунок 4.1 К установлению прочности и жесткости при кручении.

Рассмотрим элемент, выделенный сечениями I и II из цилиндра, конец которого закреплен неподвижно по указанной плоскости, а другой нагружен парой сил с моментом М (рисунок 4.1, а). В результате действия внешнего момента М возникает деформация кручения, при которой образующая цилиндра aвcd займет положение (рисунок 4.1, а).

Если сечение I–I, находящиеся на расстоянии х от нижнего конца цилиндра, повернулось на угол , то сечение II–II, находящиеся на расстоянии от нижнего сечения, повернется на угол (рисунок 4.1, б). Проведем из точки в прямую «вс» параллельно . Тогда угол . Элемент до поворота сечения II относительно сечения I имел вертикальные боковые стороны, следовательно, абсолютный сдвиг элемента: .

Относительный сдвиг:

.

Обозначим , тогда , где – угол закручивания, отнесенный к единице длины цилиндра, называемой относительным углом закручивания.

Для цилиндров постоянного сечения, подвергаемых действию крутящего момента, . Так как в соответствии с принятыми допущениями радиусы при кручении остаются прямыми, то можно сказать, что для всякого элемента, лежащего внутри цилиндра на радиусе , относительный сдвиг:

(4.2)

По закону Гука напряжение в сечении цилиндра:

(4.3)

при ;

Из соотношения (4.3) следует, что напряжение внутри цилиндра изменяется по линейному закону пропорционально расстоянию от оси вращения. Минимальное напряжение, равное нулю, имеет место в центре поперечного сечения, а максимальное – на поверхности цилиндра (рисунок 4.1, в).

Элементарная касательная сила, перпендикулярная радиусу сечения, проведенному в центр тяжести элементарной площади dF, действующая на эту площадку с учетом соотношения (4.3), будет:

.

Элементарный момент, создаваемый силой относительно центра сечения:

.

Сумма таких элементарных моментов, взятая по всей площади поперечного сечения цилиндра, равна крутящему моменту , который действует в рассматриваемом сечении цилиндра и в данном конкретном случае равен внешнему моменту М:

.

Так как и , то .

Но – полярный момент инерции сечения. Поэтому:

(4.4)

Из соотношения (4.4) получим величину угла закручивания, отнесенного к единице длина цилиндра:

(4.5)

Полный угол закручивания в радианах:

(4.6)

или в градусах:

(4.7)

Произведение модуля упругости второго рода на полярный момент инерции называют жесткостью при кручении. Эта величина характеризует способность тела из данного материала с поперечным сечением длинного размера и форма сопротивляется деформации кручения. Таким образом, полный угол закручивания цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту и длина цилиндра и обратно пропорционален жесткости при кручении.

Найдем зависимость напряжения от крутящего момента. В соответствии с (4.3) вместо подставляем его значение из (4.5):

Отсюда (рисунок 4.1, в) наибольшее напряжение при кручении:

(4.8)

или (4.9)

где – отношение полярного момента инерции к расстоянию от оси вращения до наиболее удаленной точки сечения; это отношение называют полярным моментом сопротивления.

Условие прочности при кручении будет выполнятся в том случае, если максимальное значение напряжения, возникающего при кручении, не превышает величины допускаемого напряжения, т.е. уравнение прочности при кручении имеет вид:

(4.10)

Допускаемое напряжение при кручении для стали обычно принимают:

где – допускаемое напряжение при растяжении.

Приведем соотношение для определения полярного момента сопротивления:

для круга диаметром d с учетом выражения (4.4):

;

для кольца, с учетом соотношения (4.5):

,

где Д – наружный и внутренний диаметр кольца.

При полярный момент сопротивления кольца:

Ранее приведено уравнение прочности при проверочном расчете. Далее установим уравнение прочности при проектировочном расчете, когда необходимо определить параметры (в частности, диаметр вала) цилиндра при кручении.

Определить диаметр цилиндра , подвергнутого деформации кручения, можно исходя из двух посылок. В тех случаях, когда определяющей является прочность цилиндра, расчет ведут по соотношению (4.10). для сплошного цилиндра:

; (4.11)

Когда определяющей является предельная деформация (угол закручивания), расчет ведут на жесткость. Из уравнения (4.7) имеем:

(4.12)

где – доп. угол закручивания на единицу длины, который в зависимости от назначения вала принимают в пределах 0,25 …1,0 град/м; – полярный момент инерции сплошного цилиндра.

Тогда диаметр вала сплошного сечения, на основании уравнения жесткости:

(4.13)

Пользуясь уравнениями (4.10) и (4.12), можно решить и другую задачу: определить безопасную величину крутящего момента бруса, при котором обеспечивается необходимая прочность или жесткость.

Резюме по двум видам напряженного состояния – изгибу и кручению: основной параметр, влияющий на величину напряжения – момент, определяют с одной целью – выяснить выполняется ли условие прочности и допустимы ли линейные и угловые параметры деформации.