Построение эпюр крутящих моментов

Крутящие моменты М_x, изменяются по длине бруса и являются функцией положения сечения. Крутящий момент в поперечном сечении, отстоящем на расстоянии x от начала рассматриваемого участка М_x(x) вычисляют по формуле:

M_x(x)= + , где

M_i – сосредоточенные крутящие моменты;

m_i(x) – распределенные крутящие моменты.

Также как и для растяжения - сжатия график функции М_x(х) называют эпюрой. Эпюру строят на одном чертеже под расчетной схемой бруса. Ось абсцисс для эпюры проводят параллельно оси бруса, а на перпендикулярах к ним откладывают значения крутящих моментов. Построение эпюры выполняют в следующей последовательности.

1. На схеме бруса отмечают характерные сечения, в которых изменяется форма или размер поперечного сечения, либо изменяется нагрузка. Нумерацию начинают со свободного сечения бруса. В случае статически неопределимого бруса вначале раскрывают статическую неопределимость и в результате определяют крутящие моменты в заделках.

2. На каждом участке бруса, ограниченном двумя характерными сечениями отмечают сечение, отстоящее на произвольном расстоянии х от начала участка и для него записывают выражение крутящего момента, как алгебраическую сумму всех внешних крутящих моментов, лежащих по одну (любую) сторону от сечения. Вычисляют значения в граничных сечениях участка и откладывают на эпюре. Очертания эпюры между граничными точками определяют исходя из законов изменения нагрузки. На эпюре М_x при переходе через сечение, в котором приложен сосредоточенный момент М_i будет скачок на величину М_i. На участке действия распределенных моментов, интенсивность которых изменяется по степенной зависимости, эпюра М_x будет ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени закона изменения погонных моментов m(x). Следовательно, при m(x)=0 -эпюра М_x ограничена горизонтальной прямой, при m(x)=const -эпюра М_x ограничена наклонной прямой, в случае изменения по линейному закону, эпюра М_x ограничена квадратной параболой и т.д.

Пример 2.7

Для заданного ступенчатого вала круглого сечения (рис. 2.35а) построить эпюры крутящих моментов M при заданных а, М и модуле упругости второго рода G.

Рисунок 2.35

Решение.

1. Освободим вал от заделок и заменим их действие неизвестными крутящими моментами M₁ и M₅ (рис. 2.35б). Запишем уравнение равновесия:

Σmom_x=-M₁+ma+4ma-ma-M₅ =0 (1)

Система один раз статически неопределима, так как число неизвестных превышает на единицу число независимых уравнений равновесия.

2. Для раскрытия статической неопределимости составим уравнение совместимости деформаций, которое выражает невозможность поворота торцевых сечений друг относительно друга:

j_1-5 = j_1-2+j_2-3+j_3-4+j_4-5 -0 (2)

Запишем выражения для углов поворота концевых сечений в пределах каждого участка:

j_1-2= (M_1-2´2a)/(G´I_p1-2)

j_2-3= (M_2-3´a)/(G´I_p2-3)

j_3-4=

j_4-5= (M_4-5´2a)/(G´I_p4-5),

где

I_p1-2 = I_p2-3 =0,1d⁴

I_p3-4 = I_p4-5 =0,1(2d)⁴

Крутящие моменты на каждом участке:

M_1-2(x) = -M₁

M_2-3(x) =-M₁+ma

M_3-4(x) = -M₁+ma-mx

M_4-5(x) = -M₁+ma-ma+4ma=-M₁+4ma

Подставим в уравнение совместимости (2):

(-M₁´2a)/(G´0,1d⁴)+((-M₁+ma)´a)/(G´0,1d⁴)+((-M₁+ma-ma/2)´a)/(G´1,6d⁴)+ ((-M₁+ 4ma)´ 2a)/(G´1,6d⁴) = 0, откуда

M₁= (35/132)М

3. Крутящие моменты:

M_1-2(x) = -(35/132)ma

M_2-3(x) = (97/132)ma

M_3-4(x) = (97/132)ma-mx, M₃(0)=(97/132)ma, M₄(a)=-(35/132)ma

M_4-5 = (493/132)ma

Построим эпюру крутящих моментов М (рис. 2.35в).