Нормальные усилия, возникающие при растяжении и сжатии статически неопределимого ступенчатого бруса

Рассмотрим ступенчатый брус, у которого оба торца жестко закреплены (рис. 2.31а). Брус состоит из двух участков длиной a. Площади поперечных сечений равны 2F, и F соответственно. На брус действует сосредоточенное усилие P. Для определения внутренних усилий воспользуемся методом сечений. На рассматриваемом брусе отметим сечения, которые характерны либо ступенчатым изменением площади сечения, либо изменением нагрузки. Для определения внутренних усилий в произвольном сечении бруса одних уравнений равновесия не достаточно, так как неизвестны усилия, возникающие в заделках. Это означает, что задача статически неопределима.

Рисунок 2.31

Общий метод решения статически неопределимых задач складывается в последовательном проведении двух процедур.

1. Брус освобождается от лишних связей, взамен которых прикладывают неизвестные усилия, т.е. брус превращается в статически определимый.

2. Составляют уравнение равновесия и дополнительно к ним уравнения совместимости деформаций, учитывающие деформированное состояние стержня.

В приведенной задаче отсекаем заделки и прикладываем неизвестные реакции заделок R ₁ и R ₃ (рис. 2.31б). Записываем уравнение равновесия:

R₃–R₁–P=0 (1)

Так как одного уравнения равновесия недостаточно для определения реакций в заделках, то составляем уравнение совместимости деформаций, которое выражает невозможность относительного смещения жестко заделанных сечений 1 и 3:

Dl_1-3 =0

Учитывая, что смещение сечения 1 относительно 3 складывается из смещений сечения 1 относительно сечения 2 и сечения 2 относительно сечения 3, то уравнение совместимости принимает вид:

Dl_1-3=Dl_1-2+Dl_2-3=0 (2)

На основании закона Гука для стержня:

Dl_1-2=N_1-2 a/E 2F

Dl_2-3=N_2-3 a/E F

Неизвестные внутренние усилия определим по правилу для статически определимого стержня:

N_1-2(x)=R₁

N_2-3(x)=R₁+P

Подставим полученные выражения в уравнение (2), получим следующее уравнение совместимости деформаций:

R₁ a/E 2F+(R₁+P) a/E F=0, или

3R₁+2P=0 (3)

Решая уравнения (1) и (3) совместно, получим реакции в заделках:

R₁=-2/3P

R₃=1/3P

Подставив значение R₁ в выражения N, получим внутренние усилия:

N_1-2(x)=-2/3 P

N_2-3(x)=1/3 P