При наличии диссипативных сил

« Рассматривается система с одной степенью свободы, описываемая лагранжианом (17.1). В системе имеется диссипативная сила (сила сопротивления движению), а также периодически изменяющаяся с циклической частотой g внешняя сила. Диссипативная сила f_Т выражается формулой

f_Т = – a , (18.1)

в которой a > 0 – коэффициент сопротивления. Внешнюю периодически изменяющуюся силу f_В удобно представить в комплексном виде:

f_В = f exp(i g t). (18.2)

Физический смысл, естественно, имеет действительная часть комплексной величины f_B.

Уравнение Лагранжа рассматриваемой системы записывается так:

+ 2 l + w₀² x = exp(i g t), (18.3)

где l = – коэффициент затухания.

« Общее решение уравнения (18.3) имеет вид:

x = x_C(t) + x_В(t). (18.4)

Первое слагаемое описывает свободное движение, то есть такое, которое происходило бы в замкнутой системе.

Второе слагаемое существенно зависит от внешних сил. Ему соответствуют вынужденные колебания.

« Свободное движение при достаточно малой величине a представляет собой затухающие колебания:

x_C(t) = a exp(–l t) cos(w t). (18.5)

Здесь w = (18.6)

– циклическая частота свободных колебаний, а w₀ = – собственная частота осциллятора.

Если l > w₀, то функция x_C(t) существенно отличается от (18.5): вместо колебаний происходит апериодическое затухание, величина ½x_C(t)½ ® 0 при t ® ¥.

Из (18.4) следует, что при t ® ¥ функция x(t)» x_В(t), то есть устанавливаются вынужденные колебания.

« Вынужденные колебания под действием гармонически изменяющейся внешней силы (18.2) представляют собой гармонические колебания с частотой этой силы:

x_В(t) = b cos(g t + d), (18.7)

где b = , tg d = . (18.8)

Амплитуда b вынужденных колебаний существенно зависит от соотношения частот g и w₀. Эта зависимость представлена на рисунке 19.

При w = w_Р = (18.9)

амплитуда b достигает максимального значения

b_m = . (18.10)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний вблизи w_Р носит название амплитудного резонанса.

« Амплитуда колебаний рассматриваемого осциллятора не изменяется с течением времени, если энергия, затрачиваемая системой на преодоление сил трения, компенсируется работой внешних сил.

Энергия, поглощаемая осциллятором в единицу времени от источника внешних сил, определяется выражением:

I(g) = m l g² b² = . (18.11)

Максимальное поглощение энергии имеет место при g = w₀.

Зависимость (18.11) вблизи острого максимума можно приблизительно описать формулой:

I(e) = , (18.12)

где e = g – w₀. График функции I(e) называют резонансной кривой поглощения. Полуширина G резонансной кривой поглощения – такое значение e = G, при которой интенсивность поглощения I(G) составляет половину ее максимального значения (I(G) = I_MAX / 2).

Из (18.12) следует, что

G = l. (18.13)

Таким образом, полуширина кривой, равна коэффициенту затухания l.

? Задания и контрольные вопросы

1. Объясните происхождение уравнения (18.3). Какой смысл имеют

входящие в него величины? Как решается это уравнение?

2. Расскажите о свободных колебаниях при наличии диссипативных

сил.

3*. Расскажите об апериодическом затухании.

4*. Объясните, как получаются формулы (18.8).

5. Нарисуйте графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы при различных коэффициентах сопротивления.

6. Расскажите об амплитудном резонансе.

7*. Выведите формулы (18.9) и (18.10).

8. Расскажите об энергетических превращениях в системе, совершающей вынужденные колебания.

9*. Расскажите о резонансной кривой поглощения и об измерении с ее помощью коэффициента затухания.

10*. Выведите формулу (18.13).