Тема 2. Решение задач методом теории игр

АО «Силуэт» выпускает женскую одежду, которая реализуется через сеть фирменных магазинов. Сбыт продукции во многом зависит от состояния погоды (тёплая, холодная). АО «Силуэт» занимается производством одежды двух видов: платья и костюмы. Затраты на производство и реализацию единицы продукции составляют: костюмы - 270 грн, платья - 80 грн, а продажная цена - 480 и 160 грн. По данным наблюдения - АО может реализовать в течение мая в условиях тёплой погоды 1 200 костюмов и 3 950 платьев, а при холодной погоде - 2 000 костюмов и 1 250 платьев.

Максимизировать среднюю величину прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом погоды.

РЕШЕНИЕ.

АО располагает в этих ситуациях двумя стратегиями: в расчёте на тёплу. погоду (стратегия А); в расчёте на холодную погоду - стратегия В.

1)Если АО принимает стратегию А и погода будет тёплой (стратегия природы С), то вся продукция будет реализована, значит АО получит прибыль от реализации П(АС):

П(АС) = 1 200 х (480-270) + 3 950 х (160 - 80) = 568 000 грн

2) Если АО примет стратегию А и погода будет холодной (стратегия погоды Д), то костюмы будут проданы полностью, а платья - только в количестве 1 250 шт. Прибыль в данном случае П(АД) составляет:

П(АД) = 1 200 х (480 - 270) + 1 250 х (160 - 80) - (3 950 -1 250) х 80 =136 000 грн

3) Если АО принимает стратегию В, то в условиях тёплой погоды (стратегия погоды С) прибыль П(ВС) составляет:

П(ВС) = 1 200 х (480-270) +1 250 х (160 - 80) - (2 000 - 1 200) х 270 = 136 000 грн

4) Принятие стратегии В в условиях холодной погоды позволит реализовать всю выпущенную продукцию, и прибыль П(ВД) составит:

П(ВД) = 2 000 х (480 - 270) + 1 250 х (160 - 80) - 520 000 грн

Рассматривая АО «Силуэт» и природу в качестве двух игроков Р1 и Р2, получим по итогам произведённых расчётов платёжную матрицу следующего вида:

По данным платёжной матрицы игрок Р1 (АО «Силуэт») никогда не получит прибыль меньше 136 000 грн. Если погодные условия будут совпадать с выбранной стратегией, то прибыль АО (выигрыш) будет составлять 568 000 или 520 000 грн. Если игрок Р1 будет постоянно принимать стратегию А, а игрок Р2 - стратегию Д, то прибыль снизится до 136 000 грн. То же самое будет, если игрок Р1 постоянно принимает стратегию В, а игрок Р2 - стратегию С. Следовательно, АО может обеспечить себе наибольшую прибыль, если будет попеременно принимать то стратегию А, то стратегию В. Такая стратегия называется смешанной, а её элементы (А и В) - чистыми стратегиями.

Оптимизация смешанной стратегии позволит игроку Р1 всегда получать среднее значение прибыли независимо от стратегии игрока Р2. Для оптимизации смешанной стратегии необходимо определить частоту применения стратегии А и стратегии В. Обозначим частоту применения стратегии А через Х, тогда частота применения стратегии В будет (1 - Х).

Если игрок Р1 принимает оптимальную смешанную стратегию, то при стратегии игрока Р2 (природа) С и стратегии Д игрок Р1 должен получать одинаковую среднюю прибыль:

568 000 х + 136 000 (1 - х) = 136 000 х + 520 000 (1 - х);

Решая данное уравнение, получаем, что х = 8/17; 1 - х = 9/17.

Таким образом, соотношение стратегий А и В должно составлять 8:9.

Рассчитываем оптимальный выпуск платьев и костюмов:

(1 200 кост + 3 950 плат) х 8/17 + (2 000 кост. + 1 250 плат) х 9/17) = 1624 кост + 2 520 плат.

П (ЕС) = 1 200 х (480-270) +2 520 х (160 - 80) - (1 624 - 1 200) х 270 =339 120 грн

П (ЕД) = 1 624 х (480-270) +1 250 х (160 - 80) - (2 520 - 1 250) х 80 =339 440 грн.

Таким образом, при принятии АО «Силуэт» стратегии Е, прибыль становится стабильной независимо от поведения противника.

Ответ: АО «Силуэт» необходимо выпускать в мае 1624 костюмов и 2 520 платьев.

Задачи