Функция полезности

Задача 1. Пусть функция полезности потребителя имеет вид , где , - два взаимозаменяемых товара. Обычно потребитель потребляет эти товары в количестве , . Найдите предельную норму замещения в этой точке. Допустим, потребление первого товара сократилось до =4 ед. Как должно измениться потребление второго товара, чтобы значение функции полезности не изменилось?

Решение: Предельная норма замещения определяется как

. Тогда в точке предельная норма замещения . Значение функции полезности . Обозначим через y потребление второго товара, соответствующее значению функции полезности и потреблению первого товара , тогда и отсюда , то есть потребление второго товара должно увеличиться на 4.

Данные для индивидуального решения

№ вар

Задача 2. Потребитель приобретает два вида товаров в объемах и . Функция полезности , цены товаров , соответственно, доход равен 40. Может ли значение функции полезности быть равно ? ? Обоснуйте свой ответ.

Решение:

	Функция спроса Маршала Решая систему получаем х1* =20, х2 * =10. Это решение показано на рисунке. Функция полезности равна 20 . 10 = 200. Функция полезности может быть меньше 200 – это точка «ниже» бюджетной линии. Функция полезности не может быть больше 200 – это точка «выше» бюджетной линии. Ответ: ФП может быть равна 150, но не может быть равна 300.
Прямая линия – бюджетная линия Выпуклая линия – кривая безразличия

Данные для индивидуального решения

№ вар

Задача 3. Функция полезности для данного потребителя имеет вид (, а доход, выделенный им для покупки данных товаров, равен Д=24. В оптимальный набор вошли ₌ 2 ед. первого товара и =3 ед. второго товара. При каких ценах на товары потребитель сделал данный выбор?

Решение: Поскольку набор оптимален, то он является точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия. Полезность данного набора , тогда уравнение кривой безразличия или . Обозначим цены товаров и соответственно, тогда уравнение бюджетной линии . Уравнение касательной к кривой в точке записывается в виде или . Чтобы эта прямая совпала с бюджетной линией, должно быть , .

Данные для индивидуального решения

№ вар
Д

Задача 4. Фермер выращивает яблоки и другие культуры на площади 500 кв. футов. Каждая яблоня занимает 1 кв. фут, а другие культуры - по 4 кв. фута. Функция полезности имеет вид , где - число яблонь, - число других культур. Сколько яблонь и других деревьев посадит фермер, чтобы максимизировать полезность? Если площадь сада увеличится на 100 кв. футов, насколько изменятся посадки яблонь и других культур?

Решение: Составим оптимизационную задачу максимизации полезности, заметив, что бюджетному ограничению в ней соответствует ограничение на расход площади сада:

Запишем функцию Лагранжа
Необходимые условия оптимальности:

Тогда , , .
Во втором случае

Отсюда - функция Лагранжа.
Необходимые условия оптимальности:

Тогда , , .
Примечание. Вообще говоря, в силу характера переменных рассматриваемая задача относится к классу задач целочисленного программирования, для решения которых существуют свои методы (например, метод отсечения, метод ветвей и границ и др.). Применение метода множителей Лагранжа в данном конкретном случае оправдано тем, что в результате получены целые числа.

Данные для самостоятельного решения:

Общая площадь: 400 кв.футов;

Функция полезности: .

Задача 5. Дана функция спроса на некоторый товар . При какой цене p коэффициент эластичности спроса по цене равен = ?

Решение: Коэффициент эластичности спроса по цене определяется как

.

Тогда . А так как , то отсюда .

Данные для индивидуального решения:

№ вар
	0,5
	-0,4	-0,2	-0,6	-0,6	-0,4	-0,4	-0,6	-0,6	-0,7	-0,7

Задача 6. Цена меди на мировом рынке составляет $0.75 за фунт. Ежегодно продается 750 единиц (млн. фунтов) меди. Ценовая эластичность спроса на медь равна .
Найдите линейную функцию спроса на медь.

Решение: Пусть c - объем спроса на медь, p - ее цена, тогда (линейная функция спроса).
Ценовая эластичность спроса на медь определяется как

.

А так как она равна , то . Получаем систему уравнений

Отсюда , . Подставляя вместо p и c значения 0.75 и 750 соответственно, находим: , .
Значит, .

Данные для индивидуального решения:

№ вар
		0,8	0,7	0,6	0,9		1,1	1,2	1,3	1,4
	-0,5	-0,3	-0,45	-0,5	-0,55	-0,6	-0,4	-0,45	-0,5	-0,55

Задача 7. В 1976 г. на Бразилию приходилось примерно мирового экспорта кофе. Когда заморозки уничтожили около 75% урожая кофе в Бразилии в 1976-1977 гг., цена зеленого кофе выросла на 400%. Какова была эластичность спроса на кофе?

Решение: Эластичность спроса по цене можно определить как отношение процентного изменения спроса на процентное изменение цены. Цена по условию выросла на 400%. Общий объем мирового экспорта кофе уменьшился на . Тогда эластичность спроса по цене равна .

Задача 8. Функция спроса на вино , где K - доход, p - цена бутылки вина, c - количество бутылок вина. Пусть , .

1. Если цена вина вырастет до 40, то каким должен стать доход, чтобы спрос на вино оставался прежним? При этом доходе и новой цене сколько бутылок вина будет куплено?
2. Чему равен эффект замены и эффект дохода при повышении цены на вино до 40?

Решение:

1. При , спрос на вино . Если цена возрастет до 40, а спрос не изменится, то получаем уравнение . Отсюда .
2. Из уравнения Слуцкого

.

Эффект дохода . Общий эффект . Тогда эффект замены .

Данные для самостоятельного решения:

Задача 9. Потребитель тратит весь свой доход только на два товара - 1 и 2. Задана функция спроса потребителя на товар 1: , где K - доход, - цена товара 1. Пусть , , .

1. Определить, как изменится спрос на товар 1, если его цена упадет до 4 ден. ед.
2. Найдите эффект замены и эффект дохода в общем изменении спроса на товар 1.

Решение:

1. .

При новой цене имеем . Тогда .

1. Из уравнения Слуцкого

.

Эффект дохода

.

Общий эффект

.

Тогда эффект замены

.

Данные для самостоятельного решения:

3.10. Функция полезности имеет вид . Цена товара 1 равна , цена товара 2 равна 1. Доход потребителя равен Д=140. Определить оптимальный план потребления.

Решение: Уравнение бюджетной линии . Кривая безразличия изображена на рисунке. Так как наклон прямой не совпадает ни с наклоном прямой , ни с наклоном прямой , то оптимальным планом потребления будет точка , лежащая на прямой . Получаем систему

Отсюда , .

Данные для индивидуального решения:

№ вар
Д

Задача 11. Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на покупку двух товаров. Функция полезности для него имеет вид . Потребитель покупает х₁ = 15 ед. первого товара и х₂ =10 ед. второго товара. Цена товара 1 равна р₁ = $10. Найдите доход потребителя. Каков наклон бюджетного ограничения в точке ?

Решение: Обозначим через p цену товара 2, через K - доход потребителя. Тогда бюджетная линия имеет вид . Оптимальный набор является точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия. Найдем значение функции полезности в точке : , причем кривая безразличия в этой точке задается прямой . А так как точка должна быть точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия, то прямые и должны совпадать. Значит , . Наклон бюджетной линии в точке определяется как .

Данные для самостоятельного решения для условия задачи 8:

Цены ; точка (15;20).