Множество целых чисел

Во множестве натуральных чисел выполняются операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания. Расширяя множество N так, чтобы эта операция была выполнима, мы получаем множество целых чисел Z.

Расширяя – определяя новую алгебраическую операцию.

Поэтому Z = N È {0, -1, -2,...} или Z ={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}, т.е. множество целых чисел Z содержит множество натуральных чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.

Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты.

Т е о р е м а о д е л е н и и с о с т а т к о м. Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что а = bq + r, 0 £ r < | b |.

О п р е д е л е н и е. Натуральное число р называется простым, если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.

О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и. Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители: , где p₁, p₂,..., p_k – простые числа, а - натуральные числа. Разложение называется каноническим.

Единственность разложения понимается с точностью до порядка следования сомножителей. Например . Если сказано, что простые числа расположены в порядке возрастания, то данная оговорка не нужна.

О п р е д е л е н и е. 1) Общим делителем целых чисел а₁, а₂,..., а_n называется целое число d, такое, что a₁ : d, а₂: d,..., а_n: d. 2) Наибольшим общим делителем целых чисел а₁, а₂,..., а_n называется такой положительный общий делитель чисел а₁, а₂,..., а_n, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.

Наибольший общий делитель – это наибольший из их общих делителей.

Обозначается: d = (а₁, а₂,..., а_n).

Наибольший общий делитель целых чисел а и b может быть найден с помощью алгоритма Евклида, в основе которого лежит теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b.

П р и м е р. Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим:

1173 = 323´3 + 204;

323=204´1+119;

204=119´1+85;

119=85´1+34;

85=34´2+17;

34=17´2;

так что (1173, 323) = 17.

О п р е д е л е н и е. Наименьшим общим кратным целых чисел а₁, а₂,..., а_n, отличных от нуля, называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.

Наименьшее общее кратное – это наименьшее из их общих кратных.

Обозначают: m =[ а₁, а₂,..., а_n ].

Пусть а и b целые числа, тогда

П р и м е р. Найти HOK чисел 1173 и 323.

Т.к. (1173, 323) = 17, то [1173, 323] =