Метод координат на плоскости и в пространстве

Возьмем на пл-ти какую-нибудь т. О и произвольные базисы е_1, е_2.

Тройка, состоящ из т. О и базиса е_1, е₂, наз-ся аффинной сист коорд-т на пл-ти и обознач-ся символом: Ое₁е₂ или (О,е₁,е₂).

Т. О наз-ся началом корд-т, а векторы е₁,е₂- корд-ми векторами. Направленные прямые, проходящ ч/з начало корд-т и параллельные корд-м векторам, на которых положит-е направлен опред-ся этими векторами, наз-ся осями корд-т.

Пусть Ое₁е₂- аффинная сист корд-т, а М произвольная точка пл-ти.

Вектор ОМ наз-ся радиус-вектором точки М. Корд-ты x и y вектора ОМ в базисе е₁, е₂ наз-ся корд-ми т. М в сист коор-т Ое₁е₂.

ОМ=xе₁+yе_2.

Сист корд-т наз-ся прямоугольной, если ее корд-ые векторы явл-ся единичными взаимно перпендикулярными векторами. Обознач-ся Оij или (О,i,j),где i²=j²=1, ij=0.

В простр-тве. Все анал-но пл-ти.

Аффинной системой координат в простр-ве наз-ся четверка, состоящ из т. О

и базиса е₁, е₂, е₃. Обознач-ся Ое₁е₂е₃ или (О, е₁,е₂,е₃).

=xе₁+yе₂₊zе₃.

Cист корд-т наз-ся прямоугольной, если базис этой сист явл-ся ортонормированным. Такая система координат обозначается так: Oijk или (O, i, j, k), где i²=j²=k²=1, ij=ik=jk=0.

Аффинные задачи.

1В аффинной сист корд-т даны две точки A(x₁,y₁), B(x₂,y₂).Найти корд-ты вектора АВ.

A(x_1,y₁)= OA=x₁е₁+y₁е₂

В(x₂,y₂)=OB=x₂е₁+y₂е₂

АВ=ОВ-ОА=(x₂-x₁)е₁+(y₂-y₁)е₂

АВ={x₂-x₁,y₂-y₁} в базисе (е₁,е₂).

Если аффинная сист корд-т в простр-ве и А(x_1,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂), то вектор АВ имеет корд-ты

АВ(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁).

2 Деление отрезка в данном отношении.

Дано: аффинная система корд-т (О, е₁, е₂). А(x₁,y₁), B(x₂,y₂).

AC=lCB.

Найти корд-ты С.

Замечание о l:

т.к. по условию АС и СВ коллинеарны, то точки А, В, С лежат на одной прямой.

l>0 Û AC­­CB Û C лежит между Аи В.

l<0 Û АС­¯СВ Û С лежит вне отрезка [AB]: а) С лежит вне [AB] со стороны точкиА тогда, когда –1<l<0. в) со стороны точки В Û l<-1.Решение: С(x,y), AC={x-x_1,,y-y₁}

CB={x₂-x,y₂-y}

l*CB={l(x₂-x),l(y₂-y)}

AC=lCBÞ

Если l=1, то С является серединой отрезка АВ:

Если аффинная система координат в пространстве и A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂),то координаты точки С будут иметь вид :

Если l=1, то