Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Вопрос 6Стр 1 из 4Следующая ⇒ Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Аксонометрия и ее свойства. Аффинные и метрические задачи аксонометрии.
Литература Л.С.Атанасян, В.Т.Базылев Геометрия часть 2. - М.: Просвещение, 1987. §§ 26 – 33. План ответа. 1. Параллельное проектирование и его свойства. 2. Изображение плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. 3. Свойства аксонометрии. 4. Аффинные и метрические задачи аксонометрии.
Пусть в пространстве дана некоторая плоскость a и вектор , который ей не параллелен. Определение 1. Под параллельной проекцией точки М на плоскость a в направлении вектора понимается точка М¢, полученная при пересечении плоскости a и прямой, параллельной и проходящей через М. Если в пространстве дана некоторая фигура, то, проектируя каждую ее точку, мы получим параллельную проекцию этой фигуры на плоскость. Параллельное проектирование обладает следующими свойствами. 1. Коллинеарные точки отображаются в коллинеарные и сохраняется их простое отношение. 2. Прямая проектируется в прямую, отрезок – в отрезок, луч – в луч. 3. Параллельные прямые отображаются либо в параллельные прямые, либо в одну прямую. 4. Сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых.
Изображение плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании Определение. Фигура F1 плоскости изображения, подобная F¢, называется изображением фигуры F при параллельном проектировании. Введем понятие аффинного отображения одной плоскости на другую. Взаимно однозначное отображение плоскости a на плоскость b называется аффинным, если при этом отображении коллинеарные точки отображаются в коллинеарные и сохраняется простое отношение точек. Основное свойство аффинных отображений. Пусть на плоскости a дан аффинный репер R, а на плоскости b - аффинный репер R¢. Тогда существует единственное аффинное отображение плоскости a на плоскость b, при котором репер R отображается в репер R¢. Будем считать, что фигура F плоскости a аффинно эквивалентна фигуре F¢ плоскости b, если существует аффинное отображение a на b, при котором образом F служит фигура F¢. Из основного свойства аффинных отображений следует, что два треугольника, один из которых принадлежит плоскости a, а другой плоскости b, аффинно эквивалентны. Два четырехугольника АВСD и A¢B¢C¢D¢, один из которых принадлежит плоскости a, а другой плоскости b, аффинно эквивалентны в том и только в том случае, когда (АС,О) = (A¢C¢,O¢), (BD,O) = (B¢D¢,O¢), где О и O' - соответственно точки пересечения их диагоналей AC и BD, А¢С¢ и В¢D¢. Доказательства этого утверждения проводится дословно так же, как и в случае аффинных преобразований плоскости. Справедлива следующая теорема. Теорема. Фигура F1 плоскости b служит изображением фигуры F плоскости a в ом и только в том случае, когда они аффинно эквивалентны. Треугольник изображается треугольником. Четырехугольник – четырехугольником, точка пересечения диагоналей которого делит диагонали в том же отношении, что и у оригинала. Поэтому прямоугольник, квадрат, ромб и параллелограмм изображаются параллелограммом. Трапеция изображается трапецией, отношение оснований которой совпадает с отношением оснований оригинала. Произвольный n – угольник изображается n – угольником. Рассмотрим пятиугольник ABCDE плоскости a, который изображается пятиугольником A1B1C1D1E1 плоскости b. Треугольник ABC изображается произвольным треугольником A1B1C1, а точки D1E1 строятся следующими образом: точки пересечения диагонали A1C1 с диагоналями B1E1 и B1D1делит их в том же отношении, что и у оригинала. Так как эллипс и окружности аффинно эквивалентны, то окружность изображается эллипсом, а ее перпендикулярные диаметры – сопряженными диаметрами эллипс, а центр - центром. Теорема Польке – Шварца. Вершины любого четырехугольника A1B1C1D1 плоскости b, заданные в определенном порядке служат изображением аффинного репера, равного данному R(A,B,C,D).
|