Уравнение прямой с угловым коэффициентом

· Определение. Углом между прямыми в пространстве называют любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

· Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами . Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида и то косинус угла между ними можно найти по формуле:

§ l₁|| l_2, когда S₁|| S₂, т.е

§ l₁ ⊥ l_2, когда S₁⊥S₂, т.е

Вопрос 10. Все виды уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Всякое уравнение вида Ax+By+Cz+D=0, где A, B, C и D –действительные числа (А, В и C не равны 0), определяет плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида Ax+By+Cz+D=0.

Существуют такие формы записи уравнения плоскости:

1) Ax+By+Cz+D=0−общее уравнение плоскости P, где N=(A,B,C)

2) A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0− уравнение плоскости, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) ⊥вектору N=(A,B,C).

3) - уравнение плоскости в отрезках на осях, где a, b и c− величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат.

4) − уравнение плоскости, которая проходит через три точки A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) и C(x3,y3,z3).

5) xcosα+ycosβ+zcosγ−p=0− нормальное уравнение плоскости, где cosα,cosβ и cosγ− направляющие косинусы нормального вектора N, направленного из начала координат в сторону плоскости, а p>0−расстояние от начала координат до плоскости.

6*) Ax+By+Cz+D=0: • D=0, Ax+By+Cz=0, плоскость проходит через начало координат • А=0, By+Cz+D=0, N⊥0x плоскость || оси 0x • B=0, N⊥0y,плоскость || оси 0y • C=0, N⊥0z, плоскость || оси 0z • A;D=0, N⊥0x, плоскость проходит через Ox • B;D=0, N⊥0y, плоскость проходит через Oy • C;D=0, N⊥0z, плоскость проходит через Oz • A;B=0, N⊥0xy, плоскость || плоскости Oxy • A;C=0, N⊥0xz, плоскость || плоскости 0xz • B;C=0, N⊥0yz, плоскость || плоскости 0yz • A;B;D=0, N⊥0xy, плоскость совпадает с плоскостью 0xy • A;C;D=0, N⊥0xz, плоскость совпадает с плоскостью 0xz • B;C;D=0, N⊥0yz, плоскость совпадает с плоскостью 0yz

Угол между плоскостями:

Пусть ={A₁;B₁;C₁} и ={A₂;B₂;C₂} – нормали к плоскостям α₁ и α₂, соответственно, тогда угол между плоскостями определяется соотношением: =

А условие параллельности и перпендикулярности имеют вид:

α_{1 ||} α₂ Þ Þ

α₁ ⊥α₂ Þ Þ =0 Þ

Вопрос 11. Все виды уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ;

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором (m, n, р), ей коллинеарным (||) (S-направляющий вектор). Тогда прямая определяется уравнениями:

. - каноническое уравнениями прямой.

Поскольку направляющий вектор S || исследуемой прямой, то равенство нулю какой-либо его координаты означает, что прямая соответствующей оси. Если две координаты вектора S = 0, то прямая -на соответствующей координатной плоскости

Угол между прямыми: Углом между двумя прямыми называют угол между направляющими векторами ={m₁;n₁;P₁} и ={m₂;n₂;p₂} этих прямых. Этот угол вычисляется по формуле:cosфи = =

Угол между прямой и плоскостью:

Плоскость заается вектором нормали {A,B,C}, а прямая направляющим вектором {m,n,p}, то угол между прямой и плоскостью определяется через синус угла:

Воспрос 12. Уравнение и свойства эллипса (окружности как частный случай) Свойства фокальных радиусов с доказательством.

· Эллипс - геометрическое место всех точек такое, что сумма расстояний от любой выбранной точки до фокуса постоянно.

В специально подобранной декартовой системе координат каноническое уравнение эллипса имеет вид:

, где |OA₁|=|OA₂|=a

|OB₁|=|OB₂|=b

a,b – полуоси эллипса; F₁(-c;0) и F₂(c;0) – фокусы эллипса

фокусное расстояние 2с связано с полуосями соотношением:

E (эксцентреситет) = - показывает вытянутость, 0≤ E≤1(у окружности =0)

Расстояние от точки M(x;y), кот принадлежит эллипсу, до фокуса называется фокальным радиусом r₁=a+Ex, r₂=a-Ex

· Начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ, при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY, а при a = b эллипс становится окружностью (фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.

Свойства эллипса:

· Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

· Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси

· Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

· Эллипс имеет центр симметрии.

· Эллипс может быть получен сжатием окружности.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой эллипса, т.е. сумма ее фокальных радиусов равна 2а:

.

Воспользуемсяформулой расстояния между двумя точками накоординатной плоскости и найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

, , откуда получаем:

.

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

.

Сокращая, получаем:

.

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

.

Возводим в квадрат

.

Раскрываем скобки и сокращаем на :

,

откуда получаем:

.

Используя равенство (2), получаем:

.

Разделив последнее равенство на , получаем равенство (4), ч.т.д.