Проективные преобразования. Свойства проективных преобразований. Применение к географическим данным

Проективным преобразованием плоскости называется ее взаимно-однозначное отображение на себя, при котором сохраняется коллинеарность точек, или, другими словами, образом любой прямой является прямая (т.е. точки, лежащие на одной прямой (то есть коллинеарные), после преобразования остаются лежать на

Свойства:

· Проективное преобразование сохраняет двойное отношение.

· Проективное преобразование является взаимно однозначным отображением множества точек проективной плоскости, а также является взаимно однозначным отображением множества лучей пучка с центром P.

· Отображение, обратное проективному, является проективным отображением. Композиция проективных отображений является проективным. То есть множество проективных отображений образует группу.

· Центральное проектирование — частный случай проективного преобразования.

· Аффинное преобразование является частным случаем проективного.

· Каждая прямая плоскости при проективном преобразовании плоскости отображается проективно на некоторую прямую. Каждый пучок лучей плоскости проективно отображается на пучок лучей.

· Проективное преобразование плоскости определяется заданием четырёх пар соответствующих по отображению точек, причем никакие три точки из четверки образов или прообразов не лежат на одной прямой. При нетождественном отображении число неподвижных точек не более трех.

· Каждое проективное преобразование плоскости является линейным преобразованием с ненулевым определителем.

Проективные преобразования используются для построения перспектив.

Перспекти́ва — изображения пространственных объектов на плоскости или какой-либо поверхности в соответствии с теми кажущимися сокращениями их размеров, изменениями очертаний формы и светотеневых отношений, которые наблюдаются в натуре.

Другими словами, это:

1. Явление кажущегося искажения пропорций и формы тел при их визуальном наблюдении. Например, два параллельных рельса кажутся сходящимися в точку на горизонте.

2. Способ изображения объемных тел, передающий их собственную пространственную структуру и расположение в пространстве.

// вопрос кукану: нужны ли виды перспектив тут и уточнить про применение)