Аффинные преобразования. Свойства аффинных преобразований. Применение к географическим данным

Если растянуть вдоль какого-то направления круг, то получится лекальная кривая - эллипс. Если растянуть квадрат в направлении, параллельном одной паре сторон, то получится прямоугольник. Если же квадрат растянуть или сжать в направлении его диагонали, то получится ромб. Растяжения и сжатия в определенном смысле, равномерные. Эта равномерность означает, что все кусочки плоскости будут растягиваться (сжиматься) одинаково. Кроме того, когда мы растягиваем (сжимаем) квадрат, его стороны – отрезки остаются отрезками. Такие равномерные растяжения (сжатия) называются аффинными преобразованиями.

Преобразование плоскости называется аффинным, если оно взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая. Преобразование называется взаимно однозначным, если оно разные точки переводит в разные, и в каждую точку переходит какая-то точка. (Это означает, что каждая точка M'(x', y') есть образ единственной точки М(x, y) и в свою очередь каждая точка М(x, y) представляет собой прообраз лишь одной точки M'(x', y').

При таком преобразовании бесконечно удалённым точкам соответствуют бесконечно удалённые точки, но меняется форма тела. Аффинное преобразование переводит поверхность n-го порядка в поверхность n-го порядка. Длина отрезка и величина угла между двумя прямыми изменяются при аффинном преобразовании.

Частным случаем аффинных преобразований являются просто движения (без какого-либо сжатия или растяжения). Движения — это параллельные переносы, повороты, различные симметрии и их комбинации.

Другой важный случай аффинных преобразований — это растяжения и сжатия относительно прямой.

Свойства:

1. Последовательное выполнение двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием.

2. Тождественное преобразование x' = x, y' = y также является аффинным.

3. Преобразование, обратное данному аффинному (т.е. преобразование плоскости π, переводящее точки M'(x', y') в точки М(x, y)), также является аффинным.

4. Аффинное преобразование представляет собой взаимно однозначное преобразование плоскости.

- каждая точка имеет образ и притом только один;

- разные точки имеют разные образы;

- каждая точка области значений имеет прообраз.

5. Точки, не лежащие на одной прямой, переходят в точки, не лежащие на одной прямой, а, значит, пересекающиеся прямые - в пересекающиеся прямые, а параллельные – в параллельные.

6. Так как аффинное отображение сохраняет координаты точек, то оно сохраняет уравнения фигур. Отсюда следует, что прямая переходит в прямую.

7. При аффинных преобразованиях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых.

8. Отношения площадей многоугольников также сохраняются.

9. Не обязательно сохраняются отношения длин отрезков непараллельных прямых, углы.

Применение к географическим данным:

-поворот

-масштабирование

-отражение

-перемещение