В 23. Метод потенциалов

Алгоритм решения транспортной задачи по методу потенциалов сводится к следующему:

1. проверяется тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим ее к закрытой;

2. находится опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из способов - северо-западного угла или наименьшей стоимости;

3. проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на невырожденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные клетки с помощью «0»;

4. для опорного плана определяются потенциалы u_i и v_j, соответствующие базисным клеткам, по условию:

u_i + v_j = c_ij

Таких уравнений будет m + n - 1, а переменных будет m + n. Для их определения одну из переменных полагают равной любому постоянному значению. Обычно принимают u₁ = 0.

После этого для небазисных (свободных) клеток опорного плана определяются оценки Δ_ij,

где

При этом если оценки всех свободных клеток отрицательны, то опорный план оптимален, если же среди Δ_ij окажется хотя бы один положительный элемент, то опорный план можно улучшить.

Улучшение опорного плана осуществляется путем целенаправленного переноса из клетки в клетку транспортной таблицы отдельных перевозок без нарушения баланса по некоторому замкнутому циклу.

Циклом транспортной таблицы называется последовательное соединение замкнутой ломаной линией некоторых клеток, расположенных в одном ряду (строке, столбце), причем число клеток в одном ряду должно быть равно двум.

Каждый цикл имеет четное число вершин, одна из которых в клетке с небазисной переменной, другие вершины в клетках с базисными переменными. Клетки отмечаются знаком «+», если перевозки в данной клетке увеличиваются и знаком «–» в противном случае. Цикл начинается и заканчивается на выбранной небазисной переменной и отмечается знаком «+». Далее знаки чередуются.

Количество единиц продукта, перемещаемого из клетки в клетку по циклу, постоянно, поэтому сумма перевозок в каждой строке и в каждом столбце остаются неизменными. Стоимость всего плана изменяется на цену цикла.

Цена цикла – это стоимость перевозки единицы продукта по циклу с учетом знаков вершин.

Улучшение опорного плана осуществляется путем нахождения цикла с отрицательной ценой.

5. Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему шагу. Для этого:

а) в качестве начальной небазисной переменной принимается та, у которой оценка имеет максимальное значение;

б) составляется цикл пересчета;

в) находится число перерасчета по циклу: число X=min{X_ij}, где X_ij - числа в заполненных клетках со знаком «-»;

г) составляется новая таблица, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из минусовых клеток цикла;

6. Возвращаются к пункту 3 и т.д.

7. Если среди оценок клеток последнего оптимального распределения есть хотя бы одна нулевая для свободной клетки, то оптимальное распределение поставок не является единственным.

Для полученного оптимального распределения вычисляют суммарные затраты на перевозки как сумму произведений затрат на соответствующие поставки.