Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Закон пропорциональности ускорения силе Ускорение, приобретаемое материальной точкой, пропорционально действующей на точку силе и направлено в сторону действия силы.

Закон равенства действия и противодействия Материальные тела действуют друг на друга с силами, равными по величине противоположными по направлению.

4. Закон независимости действия сил. Ускорение, приобретаемое материальной точкой под действием нескольких сил, равно ускорению, которая получила бы точка от действия равнодействующей этой системы сил.

Второй закон Ньютона утверждает, что причина ускорения тела − взаимодействие тел, характеристикой которого является сила. Этот закон дает основное уравнение динамики, позволяющее, в принципе, находить закон движения тела, если известны силы, действующие на него. Этот закон может быть сформулирован следующим образом ускорение точечного тела (материальной точки) прямо пропорционально сумме сил, действующих на тело, и обратно пропорционально массе тела:

2.Пе рвая задача (прямая) – считая заданным движение материальной точки массой m, определить равнодействующую сил, вызывающих это движение.

Вторая задача (обратная) – определить движение, которое будет совершать точка массы m под действием заданных сил.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Пусть материальная точка А массой m движется в плоскости чертежа под действием равнодействующей силы F = ΣF_i с ускорением а, тогда: F = ma.

Спроецируем это векторной равенство на две взаимно-перпендикулярные оси координат x и y (оси и вектор силы F лежат в одной плоскости) и получим уравнение плоского движения материальной точки в координатной форме:

F_x = ΣX = ma_x; F_y = ΣY = ma_y.

Применяя теорему о проекции ускорения на координатную ось, эти уравнения можно записать в виде дифференциальных уравнений плоского движения точки:

ΣX = m(d²x/dt²); ΣY = m(d²y/dt²),

где ΣX и ΣY – алгебраические суммы проекций сил, действующих на точку, на соответствующие координатные оси; x и y – текущие координаты точки.

3. Свободные колебания — колебания в системе под действием внутренних тел, после того как система выведена из положения равновесия. Си́ла упру́гости — сила, возникающая в теле в результате его деформации и стремящаяся вернуть тело в исходное состояние. Коэффицие́нт упру́гости (иногда называют коэффициентом Гука, коэффициентом жёсткости или жёсткостью пружины) — коэффициент, связывающий в законе Гукаудлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой k иногда D или c. Имеет размерность Н/м или кг/с² (в СИ), дин/см или г/с² (в СГС).

Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния. В случае упругих колебаний возвращающая сила F = -kx. Если нет других сил, кроме упругой силы, то колебания называют свободными. Согласно второму закону Ньютона

,
или
.
Разделим оба слагаемых на m:

(7.7)

Последнее соотношение носит название основного уравнения гармонических свободных колебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид

,

в чем легко убедиться подстановкой х в исходное дифференциальное уравнение.

4. Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.
- дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Решения уравнения в случае слабых затуханий будет иметь вид:

где

5. Известно, что свободные колебания не длятся очень долго. Как правило они, как говорят, затухают и довольно скоро. Причиной этому является чаще всего – сопротивление среды, в которой движутся части колебательной системы.

Обычно считают это сопротивление пропорциональным скорости. Пусть на каждую точку материальной системы действует сила сопротивления . Обобщенная сила, соответствующая этим силам,

Скорость точек

так как – сложная функция, а q=q(t). Поэтому

Значит,

Обозначим . Тогда обобщенная сила сопротивления

Заметим, что по форме эта функция Ф аналогична кинетической энергии Т. Поэтому, если разложить ее в ряд Маклорена и учесть члены лишь второго порядка малости, результат получится тоже аналогичным (5): (коэффициент b также будет положительным). И тогда обобщенная сила сопротивления движению

Функция Ф называется диссипативной или функцией рассеивания энергии системы.