Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Геометрическое представление сигналов
Литература: [Л.1], с 23-29 [Л.2], с 30-32 В современной теории радиотехнических сигналов широкое применение находят геометрические представления сигналов, использующие такие понятия как пространство, вектор, расстояние, проекция и т.д. Поэтому, для уяснения сущности геометрического представления необходимо познакомиться с этими понятиями. Как уже подчеркивалось выше, для передачи сообщений в РТИС используется множество сигналов , образующее ансамбль сигналов. Это множество может быть непрерывным (континуальным), либо дискретным (счетным). В свою очередь дискретные множества могут быть конечными, либо бесконечными. При геометрическом представлении говорят, что множество образует пространство сигналов. Любое пространство предполагает наличие системы координат. Пространство, в котором обитает человек, характеризуется декартовой системой координат, характеризующейся наличием трех взаимно перпендикулярных координатных осей. Тогда с любой точкой пространства будут связаны три вещественных числа, которые можно рассматривать как координаты точки в пространстве. Рассмотрим как можно распространить указанные понятия на радиотехнические сигналы. В качестве примера приведем представление произвольного сигнала длительностью в виде суммы двух неперекрывающихся прямоугольных импульсов с высотой соответственно и и длительностью (рис 1.8).
Т.к. импульсы не перекрываются во времени (проекция одного импульса на другой по оси времени равна нулю), то совокупность двух импульсов, отображающих сигнал , можно представить точкой в двумерной системе координат, образованной взаимноперпендикулярными векторами и (рис.1.9). Отрезок прямой, проведенный из начала системы координат в точку с координатами и представляет собой вектор сигнала при его данном динамическом представлении. Тогда математически его можно записать в виде . Если представить тремя импульсами, то сигнал будет отображаться вектором в трехмерном пространстве, четырьмя импульсами-вектором в четырехмерном пространстве, n импульсами-вектором в n-мерном пространстве. Таким образом, в общем случае сигнал отображается вектором в абстрактном n-мерном пространстве. При этом пространство может быть бесконечномерным. Отметим, что совокупность векторов образуют координатный базис пространства. Очевидно, с изменением значений сигнала во времени длина вектора и его положение в пространстве будет также меняться. Для дальнейшего рассмотрения геометрического представления зафиксируем момент времени , т.е. сделаем как бы фотографический снимок пространства. Это позволит на время абстрагироваться от динамики изменения сигнала и рассмотреть свойства пространства, используемого для геометрического представления. Кроме того, при характеристике пространства будем использовать его n-мерную модель, а для графических иллюстраций - двумерное пространство. Исходя из этих предположений, вектор сигнала можно записать следующим образом . (1.20) В теории радиотехнических сигналов пространство для геометрического представления должно быть линейным. Линейное пространство обладает следующими основными свойствами: - если векторы и принадлежат пространству , то и вектор также принадлежит этому пространству, причем (рис.1.10) ; (1.21) Рис. 1.10
- определена операция умножения вектора на любое вещественное число , причем ; (1.22) - пространство содержит нулевой элемент , причем . (1.23) Поскольку при анализе сигналов, как правило, пользуются количественными характеристиками, пространство геометрического представления должно позволять определять длину векторов для их сравнения. Длину вектора называют нормой , а пространство, в котором определена норма - нормированным пространством. Основными свойствами линейного нормированного пространства являются: - для любого вещественного числа норма ; (1.24) - если и - два вектора, принадлежащие линейному нормированному пространству, то: . (1.25) Свойство (1.25) отображает так называемое правило треугольника, известное из курса геометрии, в справедливости которого можно убедиться из рис.1.10. В качестве нормы в теории радиотехнических сигналов используют величину . (1.26) Очевидно квадрат нормы , представляет собой энергию сигнала. Введение понятия нормы позволяет определять длину векторов, представляющих сигналы в линейном нормированном пространстве, но не позволяет определять расстояние между векторами. Для того чтобы это стало возможным необходимо ввести понятие расстояния между векторами и , т.е. величину , называемую метрикой. Тогда линейное нормированное пространство становится метрическим. Метрика пространства должна удовлетворять условиям: - расстояние между одинаковыми векторами равно нулю, т.е. ; (1.27) - расстояние между векторами и , должно быть равно расстоянию между и , т.е. (1.28) - должно выполняться правило треугольника, т.е. . (1.29) В ТРТС в качестве метрики используют норму разности двух сигналов . (1.30) Нетрудно убедиться, что величина (1.30) удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства. И, наконец, взаимное расположение двух векторов в пространстве оценивается величиной угла между ними, который определяется выражением , (1.31) где числитель представляет собой скалярное произведение векторов. Таким образом, для геометрического представления сигналов в радиотехнике используется линейное метрическое нормированное пространство. Если пространство конечномерное (координатный базис содержит конечное число векторов ), то такое пространство называют Евклидовым. Бесконечномерное пространство называется Гильбертовым пространством.
|