Определение числа групп

Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса

n = 1 + 3,2 ž lg N,

где n – число групп, N – число единиц совокупности.

Здесь получаем: n = 1 + 3,2 ž log26 = 5,7

Ширина интервала составит: 6

,

где Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности, Xmin - минимальное значение группировочного признака.

Здесь имеем:

Определим границы группы.

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество, раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Построим гистограмму для полученного интервального ряда:

Таблица для расчета показателей.

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная

.

Здесь имеем:

Модальная численность

Модальная численность - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

,

где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 – послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 332, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 314.59

Медиана

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 313 – 365.8, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

.

Здесь имеем:

ВЫВОД: Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 564.54

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = Xmax - Xmin

R = 630 - 313 = 317

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

или

ВЫВОД: Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 69.11.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 425.4 в среднем на 81.4

Относительные показатели вариации.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

ВЫВОД: Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

ОТВЕТ:

Средняя численность занятых – 425 человек.

Модальная численность равна 314.59. Медиана равна 564.54.

Показатели вариации:

размах вариации R = 317;

cреднее линейное отклонение d = 69.11;

дисперсия D = 6623.53;

среднее квадратическое отклонение s = 81.4;

коэффициент вариации v = 19.13 %;

линейный коэффициент вариации Kd = 16.25 %.

Задание 2

Имеются данные о производстве промышленной продукции на предприятии за 1995-2000 г.г. млн. руб.

Рассчитайте и проанализируйте следующие показатели ряда динамики:

— средний уровень ряда;

— цепные и базисные абсолютный прирост, коэффициент роста и темпы прироста.

По итогам расчетов сделать выводы.

РЕШЕНИЕ: Подставим в таблицу N = 26 и получим следующие данные:

Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.

Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким способом показатели динамики называются цепными.

Важнейшим статистическим показателем динамики является абсолютный прирост, который определяется в разностном сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации.

Абсолютный прирост

цепной прирост: ∆yц = yi - yi-1

базисный прирост: ∆yб = yi - y1

Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения.

Темп прироста

цепной темп прироста: Tпрцi = ∆yi / yi-1

базисный темп прироста: Tпpб = ∆yбi / y1

Темп роста характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

Темп роста

цепной темп роста: Tpцi = yi / yi-1;

базисный темп роста: Tpб = yбi / y1

Абсолютное значение 1% прироста

цепной: 1%цi = yi-1 / 100%;

базисный: 1%б = yб / 100%

Темп наращения

Важным статистическим показателем динамики социально-экономических процессов является темп наращивания, который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание во времени экономического потенциала

Tн = ∆yцi / y1

Цепные показатели ряда динамики.

Таблица 1.

ВЫВОД: Таким образом, в 2000 г. по сравнению с 1999 г. производство промышленной продукции на предприятии уменьшилось на 36 млн. руб. или на 17.14%

Максимальный прирост наблюдается в 1999 (45 млн. руб.)

Минимальный прирост зафиксирован в 1998 (-201 млн. руб.)

Темп наращения показывает, что тенденция ряда убывающая, что свидетельствует о замедлении производства промышленной продукции на предприятии.

Базисные показатели ряда динамики. Таблица 2.

ВЫВОД: В 2000 по сравнению с 1995 производство промышленной продукции на предприятии уменьшилось на 374 млн. руб. или на 70.70%

Расчет средних характеристик рядов.

Для нахождения среднего уровня моментного ряда используют среднюю хронологическую:

ВЫВОД: Среднее значение производства промышленной продукции на предприятии за анализируемый период составило 284.2 млн. руб.

Средний темп роста вычисляется по формуле

.

Здесь имеем:

ВЫВОД: В среднем за весь период рост анализируемого показателя составил 0.78

Средний темп прироста вычисляется по формуле

.

Здесь имеем:

ВЫВОД: В среднем с каждым периодом производство промышленной продукции на предприятии сокращалось на 22%.

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики.

Средний абсолютный прирост вычисляется по формуле

.

Здесь имеем:

ВЫВОД: С каждым периодом производство промышленной продукции на предприятии в среднем уменьшалось на 74.8 млн. руб.

Задание 3

Имеются следующие данные о продаже овощей и ценах на них.

Рассчитайте и проанализируйте:

1) индивидуальные индексы цен и количеств (физического объема), товарооборота;

2) общий агрегатный индекс цен;

3) общий агрегатный индекс количеств (физического объема);

4) общий агрегатный индекс стоимости (товарооборота).

По итогам расчетов сделать выводы.

РЕШЕНИЕ: Подставим в таблицу N = 26 и получим следующие данные:

1) Сравнение цен одного товара осуществляется с помощью индивидуального индекса цен.

где Pi0– цена i-гo товара в базисном периоде, Рi1 – цена i-гo товара в отчетном периоде.

Найдем индивидуальные индексы цен овощей:

— для свеклы:

или 104%, т.е. цена проданной свеклы в отчетном году увеличилась по сравнению с базисным на 4%.

— для капусты:

или 106%, т.е. цена проданной капусты в отчетном году увеличилась по сравнению с базисным годом на 6 %.

— для моркови:

или 85%, т.е. цена проданной моркови в отчетном году уменьшилась по сравнению с базисныи годом на 15%.

Найдем индивидуальный индекс физического объема реализации с помощью формулы:

где qi0– количество i-гo товара в базисном периоде, qi1 – количество i-гo товара в отчетном периоде.

Найдем индивидуальные индексы количеств:

— для свеклы:

или 87%, т.е. количество тонн проданной свеклы в отчетном году уменьшилось по сравнению с базисным на 13%;

— для капусты:

или 97%, т.е. количество тонн проданной капусты в отчетном году уменьшилось по сравнению с базисным на 3%;

— для моркови:

или 102 %, т.е. количество тонн проданной моркови в отчетном году увеличилось по сравнению с базисным на 2%;

Аналогично, найдем индивидуальные индексы товарооборота:

— для свеклы:

— для капусты:

— для моркови: .

Вывод: товарооборот в отчетном году по сравнению с базисным годом: для свеклы – уменьшился на 9%; для капусты – увеличился на 3 %; для моркови – уменьшился на 9%.

Индивидуальные индексы объемных и качественных показателей, взаимосвязаны между собой так же индексы: произведение индекса физического объема товарооборота на индекс цен, дает индекс товарооборота:

Проверка: для свеклы – 1,04 * 0,87 = 0,91;

для капусты – 1,06 * 0,97 = 1,03;

для моркови – 0,85 *1,02 = 0,87.

2) Найдем общий агрегатный индекс цен (метод Пааше)

.

∆Zp = ∑q1 • p1 - ∑q1 • p0

∆Zp = 10841.6 – 11191.8 = -350.2

Вывод: За счет изменения цен сводный товарооборот снизился на 3.13% или на 350.2 руб.

3) Найдем общий агрегатный индекс количеств (физического объема) для овощей. Общий агрегатный индекс физического объема продукции (индекс Ласпейреса)

∆Zq = ∑q1 • p0 - ∑q0 • p0

∆Zq = 533871 – 517570,56 = 16300,44

Вывод: За счет изменения объема проданной продукции, товарооборот увеличился на 3,15% или на 16 300,44 руб.

4) Найдем общий агрегатный индекс товарооборота:

∆Z = ∑q1 • p1 - ∑q0 • p0

∆Z = 451737 – 517570.56 = -65833.56

Вывод: За счет всех факторов общий товарооборот снизился на 12.71% или на 65 833.56 руб.

Покажем взаимосвязь индексов Ipq = Iq • Ip = 1.03 • 0.97 1.

ОТВЕТ:

Индивидуальные индексы цен: для свеклы: 1.04; для капусты: 1.06; для моркови: 0.85. Индивидуальные индексы количеств: для свеклы: 0.87; для капусты: 0.97; для моркови: 1.02. Индивидуальные индексы товарооборота: для свеклы: 0.91; для капусты: 1.03; для моркови: 0.87.

За счет изменения цен сводный товарооборот снизился на 3.13% или на 350.2 руб. За счет изменения объема проданной продукции, товарооборот увеличился на 3,15% или на 16 300,44 руб. За счет всех факторов общий товарооборот снизился на 12.71% или на 65 833.56 руб.

Задание 4

Численность работников предприятия, начавшего свою деятельность с 10 мая по списку составляла: 10-21 мая — 220 человек; 22-25 мая — 210 человек; 26-31 мая — 205 человек. Среднесписочная численность работников составляла, чел.:

июнь — 210;

3 квартал — 225;

октябрь — 245;

ноябрь — 240;

декабрь — 242.

Определите среднюю численность работников предприятия за: май; 2 квартал; I полугодие; 4 квартал; II полугодие; год.

РЕШЕНИЕ: Занесем данные из условия в следующую таблицу:

Определим среднюю численность работников за май:

человек.

Определим среднюю численность работников за 2 квартал (май и июнь, т.к. в апреле предприятие еще не действовало):

человек.

Определим среднюю численность работников за I полугодие (май и июнь, т.к. в январе-апреле предприятие еще не действовало):

человек.

Определим среднюю численность работников за IV квартал (октябрь, ноябрь, декабрь):

человек.

Определим среднюю численность работников за II полугодие (июль-декабрь):

человека.

Определим среднюю численность работников за год (май - декабрь):

человек.

ОТВЕТ: средняя численность работников предприятия: за май – 212 человек; за 2 квартал – 219 человек; за I полугодие – 219 человек; за 4 квартал – 242 человек; за II полугодие – 234 человек; за год – 226 человек.

Задание 5.

Имеются следующие данные по основным фондам предприятия за 2010 год, тыс. руб.:

Постройте баланс основных фондов и определите:

1) наличие основных фондов на конец года по полной и остаточной стоимости;

2) коэффициенты обновления и выбытия основных фондов;

3) коэффициенты износа и годности основных фондов на начало и конец года;

4) показатели, характеризующие использование основных фондов.

РЕШЕНИЕ:

Подставим N = 26 и получим:

1) Считаем полную стоимость на конец года

§ 1. Наличие на начало года по полной стоимости 1146

§ 2. Поступило в отчетном году 66

§ 3. Выбыло в отчетном году по полной стоимости 96

Наличие на конец года по полной стоимости: 1146 + 66 – 96 = 1116 тыс. руб.

Считаем остаточную стоимость на конец года

§ 1. Остаточная стоимость фондов на начало года 1146

§ 2. Поступление основных фондов 66

§ 3. Выбытие по остаточной стоимости 41

§ 4. Амортизация 130

Наличие на конец года по остаточной стоимости: 1146 + 66 – 96 –130 = 986 тыс. руб.

2) Коэффициент обновления, выбытия:

§ К поступления (обновления) = ОФ введенные / ОФ на конец года = 66 / 1116 = 0.059.

§ К выбытия = ОФ выбывшие / ОФ на начало год = 96 / 1146 = 0.08.

3) Коэффициенты годности и износа

§ К годности н.г. = стоимость ОФ за вычетом износа / полная стоимость ОФ = (1146 - 1146*79%) / 1146 = 240.66/1146 = 0,21 или 21%.

§ К годности к.г. = (135.66 / 1116 = – 0,12 или 12%.

§ К износа н.г. = сумма износа / полная стоимость основных фондов = (1165-240.66) / 1165 = 0,98 или 98 %.

§ К износа к.г. = (1135-(-100,7)) / 1135 = 1,089 или 108,9 %.

4) Показатели, характеризующие использование основных фондов.

§ фондоотдача = выпуск продукции / ср.год. полн. стоимость ОФ = 1081/1121 = 0,96 выпуск продукции на 1 тыс. руб.

§ фондоемкость = ср.год. полн. стоимость ОФ / выпуск продукции = 1021/1081 = 1,03 доля стоимости основных фондов, приходящихся на каждую тыс. рублей выпускаемой продукции.

Баланс основных фондов

Баланс по первоначальной стоимости за вычетом износа

Задание 6

Имеются следующие данные о цене продаж товаров (руб.) по месяцам года. С целью выявления тренда, проведите аналитическое выравнивание указанного параметра рынка по прямой, представив уравнение трендовой модели.

РЕШЕНИЕ:

Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1∑t = ∑y

a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t

Для наших данных система уравнений имеет вид:

12a0 + 78a1 = 573

78a0 + 650a1 = 3867

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = 0.997, a1 = 41.273

Уравнение тренда:

y = 0.997 t + 41.273

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 0.997 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 месяц, y изменится в среднем на 0.997.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 7

(41.27 + 1*7 - 2.228*61.64; 41.27 + 1*7 - 2.228*61.64)

(-13.39;109.89)

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.

t-статистика. Критерий Стьюдента.

Статистическая значимость коэффициента b не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента a подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда.

Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - tнабл Sb; b + tнабл Sb)

(0.997 - 2.228•2.22; 0.997 + 2.228•2.22)

(-3.95;5.94)

Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима.

(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)

(41.273 - 2.228•16.35; 41.273 + 2.228•16.35)

(4.85;77.69)

ОТВЕТ:

Уравнение тренда имеет вид: y = 0.997 t + 41.273.

Задание 7

При проверке импортируемого товара на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 500 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 70 + N г при среднеквадратическом отклонении 11 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес в генеральной совокупности.

РЕШЕНИЕ:

При N = 26 имеем средний вес изделия: = 70+26=96 г; s = 11; n =500.

Доверительный интервал для генерального среднего.

Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(tkp) = γ

Ф(tkp) = γ/2 = 0.997/2 = 0.4985

По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.4985

tkp(γ) = (0.4985) = 2.96

(96 - 32.56; 96 + 32.56) = (63.44; 128.56)

С вероятностью 0.997 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

ОТВЕТ:

Средний вес в генеральной совокупности находится в пределах (63.44; 128.56) с вероятностью 0,997.

Задание 8

Имеются следующие данные о квалификации и заработной плате рабочих.

Для характеристики связи между рассматриваемыми признаками исчислить:

1) линейное корреляционное уравнение;

2) линейный коэффициент корреляции;

3) индекс корреляции.

РЕШЕНИЕ: Подставим в таблицу N = 26 и получим следующие данные:

1) Используем графический метод для наглядного изображения формы связи между изучаемыми показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строим график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y (заработная плата), а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X (разряд). Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер. Линейное уравнение регрессии имеет вид

y = bx + a + ε

Для оценки параметров - используем МНК (метод наименьших квадратов).

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(yi - y*i)2 → min

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 35b = 1130

35a + 141b = 4120

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 8.9189, a = 81.7838

Таким образом, уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 8.9189 x + 81.7838

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

; ; ;

Выборочные дисперсии:

;

Среднеквадратическое отклонение

;

2) Коэффициент корреляции

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

вариация динамика коэффициент индекс

Вывод: В нашем примере связь между признаком Y фактором X высокая и прямая.

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 8.92 x + 81.78

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 8.92 показывает среднее изменение заработной платы (в тыс. руб.) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением квалификации на 1 разряд y повышается в среднем на 8.92 тыс. руб.

Коэффициент a = 81.78 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная).

Вывод: в нашем примере связь прямая.

3) Индекс корреляции.

Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции

rxy = 0.82.

Вывод: полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

ОТВЕТ:

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 8.92 x + 81.78

Линейный коэффициент корреляции принимает значение rxy = 0.82.

Индекс корреляции равен коэффициенту корреляции, т.е. 0.82.

Размещено на Allbest.ru