Контрольная работа № 6. Задачи на итерационные циклы

1. Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих собственных делителей. Разработать программу поиска всех совершенных чисел в данном интервале. [k, l].

2. Даны натуральные числа а, b. Вычислить произведение а*b, используя в программе лишь операции +, -, =, >.

3. Составить программу, печатающую разложение на простые множители заданного натурального числа N > 1 (другими словами, требуется печатать только простые числа и произведение напечатанных чисел должно быть равно N).

4. Реализовать алгоритм приближенного решения уравнения f(x) = 0 на отрезке [a, b] методом хорд. Вычисление значения функции f в точке x реализовать в виде функции.

5. Реализовать алгоритм приближенного решения уравнения f(x) = 0 на отрезке [a, b] методом деления отрезка пополам. Вычисление значения функции f в точке x реализовать в виде функции.

6. Функция f с натуральными аргументами и значениями определена так:

f(0) = 0, f(1) = 1, f (2n) = f(n), f (2n+1) = f (n) + f (n+1).

Составить программу вычисления f(n) по заданному n, которая требуюет порядка log₂n арифметических операций.

7. Разработать программу, которая для данного натурального числа N ищет представление этого числа в виде суммы двух квадратов натуральных чисел: N = x² + y² .

8. Разработать программу, которая вычисляет представление данного рационального числа R = P/Q в виде десятичной периодической дроби R = A.B(C), где А - целая часть числа R, B - предпериод числа R, а С - период этого чмсла. (Например, для R = 32/15 A = 2, B = 1, C = 3.)

9. Через GCD(A, B) обозначим наибольший общий делитель натуральных чисел A и B. Известно, что если D = GCD(A, B), то существуют такие целые числа X и Y, что

D = X*A + Y*B.

Разработать программу, которая по числам A и B вычисляет X и Y.

10. Известно, что пересечение двух числовых множеств, каждое из которых образует арифметическую прогрессию, либо пусто, либо также является арифметической прогрессией. Пусть две арифметических прогрессии заданы соответственно своими первыми членами A и B и разностями K и L. (A_i = A + (i-1)*K, B_j= B + (j-1)*L.). Разработать программу, которая вычисляет первый член С и разность М пересечения последовательностей {A_i} и {B_j}, если оно не пусто.