Главные оси и главные моменты инерции

Исследуем на экстремум момент инерции как функцию угла a

Отсюда находим

Аналогичный результат получим при исследовании на экстремум момента инерции . Отсюда следует, что осевые моменты инерции имеют экстремальные значения относительно осей, для которых центробежный момент инерции равен нулю. Такие две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции сечения. Осевые моменты инерции относительно таких осей имеют экстремальные значения – один J_max, другой J_min; они называются главными моментами инерции.

В дальнейшем для главных осей инерции используются цифровые обозначения 1 и 2 и, соответственно, для главных моментов инерции - обозначения J₁ = J_max и J₂ = J_min.

Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями. Определение положения этих осей имеет наибольшее практическое значение.

Формулы для углов, определяющих положение главных осей, удобнее записать с использованием главных моментов инерции J₁, J₂:

Для определения главных моментов инерции необходимо в (2.8) с помощью известных формул тригонометрии выразить sin2a и cos2a через tg2a с использованием выражения (2.10). В результате получим формулы для главных моментов инерции:

Основные свойства моментов инерции:

1. При повороте двух взаимно перпендикулярных осей на 90^о или при изменении направления одной из осей на противоположное центробежный момент инерции меняет знак.

2. Ось симметрии сечения и любая ось, ей перпендикулярная, составляют пару главных осей.

3. Главная центральная ось сечения и любая ось, ей перпендикулярная, составляют пару главных осей.

4. Если моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных главных осей, проходящих через некоторую точку сечения, равны по величине, то все оси, проходящие через эту точку, также являются главными и моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы. Действительно, если в формулах (2.8) положить J_x = J_y и J_xy= 0, то есть принять, что оси Ox и Oy являются главными осями, то при произвольном значении угла будем иметь

Указанным свойством обладают сечения, имеющие более двух осей симметрии, у которых все центральные оси являются главными. К таким относятся, например, изображенные на рис.2.4 сечения в виде круга, равностороннего треугольника, квадрата, правильного многоугольника. Осевые моменты инерции у таких сечений относительно всех центральных осей одинаковы.