Метод контурних струмів

Метод базується на другому законі Кірхгофа і законі Ома. При аналізі кола вважають, що в кожному незалежному контурі протікає свій контурний струм. Рівняння для контурних струмів складають за другим законом Кірхгофа. Кіль-кість рівнянь дорівнює кількості незалежних контурів. На Рис. 27 зображено коло із двома незалежними контурами. - струми у вітках кола, – контурні струми. Очевидно, струми у вітках, через які проходить один кон-турний струм, дорівнюють цим контурним струмам: . У вітках, через які проходять декілька контурних струмів, струми дорівнюють алгебра-їчній сумі контурних струмів: .

За другим законом Кірхгофа: Виражаємо струми у вітках через кон-турні струми:

або:

Введемо позначення:

- власний опір першого контура, це сума опорів віток, що на-лежать першому контуру.

- власний опір другого контура, це сума опорів віток, що на-лежать другому контуру.

- спільний (взаємний) опір першого та другого контурів, це сума опорів віток, що належать одночасно першому і другому контурам.

- контурна ЕРС першого контура.

- контурна ЕРС другого контура.

Увага! ЕРС, які співпадають із вибраним напрямом контурного струму входять у контурну ЕРС зі знаком «плюс». Рекомендується контурні струми спрямовувати однаково, наприклад, за годинниковою стрілкою, тоді в рів-няннях всі взаємні опори фігурують зі знаком мінус (якщо вибрані елементарні незалежні контури у планарному колі).

У загальному вигляді рівняння, складені за методом контурних струмів, для будь-якого двоконтурного кола виглядають так:

Аналогічно записується система рівнянь для триконтурної схеми:

або у вигляді матриці:

Де:

Розв’язуючи систему рівнянь будь-яким способом, наприклад, за правилом Крамера, одержуємо контурні струми:

де: ;

Контурні струми можна виразити через контурні ЕРС і алгебраїчні допов-

нення головного визначника системи рівнянь:

або:

де: – головний визначник системи, – алгебраїчні доповнення.У загальному вигляді для n – контурного кола -

будь-який контурний струм:

Для непланарного електричного кола незалежні контури слід визначати за допомогою дерева. Наприклад, розглянемо коло на Рис. 28, а.

У колі 5 вузлів. (Рис. 28, б). Дерево має чотири вітки. Кожна вітка зв’язку (пунктирні лінії, номери в кружках) разом з відповідними вітками дерева (су-цільні лінії) утворює незалежний контур (6 незалежних контурів).

Алгоритм розрахунку електричного кола методом контурних струмів.

1. Вибираємо незалежні контури і орієнтуємо в них контурні струми. При цьому через вітку, в якій є джерело струму без паралельно підімкненого резистора, повинен проходити лише один контурний струм, який дорівнює струму джерела. Рівняння для такого контура не складається, тому що його струм відомий.

2. Визначаємо власні та спільні опори контурів і контурні ЕРС.

3. Будь-яким способом розв’язуємо систему рівнянь і визначаємо контурні струми.

4. За знайденими контурними струмами знаходимо струми у вітках схеми, як алгебраїчні суми контурних струмів.

Приклад 1. Розрахувати методом контурних струмів усі струми у колі (Рис. П1)при таких заданих параметрах: R 1 = 26 (Ом), R 2 = 10 (Ом), R 3 = 18 (Ом), R 4 = 14 (Ом), R 5 = 20 (Ом), R 6 = 8 (Ом), E 2 = 20 (В), E 7 = 24 (В), J= 2 (А).

У колі чотири незалежних контури. За методом контурних струмів потрібно скласти три рівняння, оскільки контурний струм відомий.

Власні опори контурів:

Взаємні опори у даному випадку – від’ємні:

Контурні ЕРС:

Підставляєм ці значення у початкову систему рівнянь

після спрощення:

Розв’язуємо систему рівнянь за допомогою визначників:

Знаходимо контурні струми:

Всі контурні струми додатні - дійсні їх напрямки співпадають із виб-раними. Для перевірки вірності розрахунків потрібно підставити знайдені кон-турні струми у початкові рівняння. Тотожність лівої і правої частин кожного з цих рівнянь свідчить про правильність їх розв’язку. Допустима похибка залежить від точності чисельних розрахунків і не повинна перевищувати 1%.

Струми віток дорівнюють алгебраїчним сумам контурних струмів, що проходять у вітках:

У вітках із ЕРС Е2 та Е7 напрями струмів співпадають із напрямами ЕРС, тому потужності джерел напруги Е2 і Е7 додатні. Для визначення потужності джерела струму J необхідно визначити напругу Uaб на його полюсах:

Перевірка вірності розв’язку за балансом потужностей.

Рдж =Рсп

Баланс потужностей зійшовся із допустимою похибкою, що означає пра-вильність розв’язку задачі.