Розв’язання. 1. Функція визначена і неперервна на всій числовій осі за винятком точок і , у яких функція має розриви

1. Функція визначена і неперервна на всій числовій осі за винятком точок і , у яких функція має розриви.

2. Тому що , то дана функція непарна. Функція не є періодичною, тому що вона представляє раціональний дріб.

3. Тому що , то графік проходить через початок координат.

4. Оскільки функція має точки розриву, то її графік має вертикальні асимптоти: і .

Горизонтальних асимптот крива не має, тому що .

Перевіримо наявність похилих асимптот , де

,

.

Рівняння похилої асимптоти .

5. Визначаємо інтервали монотонності функції, максимуми і мінімуми.

Для цього знайдемо похідну . Прирівнюємо похідну до нуля: і визначимо критичні точки першого роду: , , . Тому що при функція має розриви, то ці значення не будуть критичними. Визначимо знаки похідної в інтервалах , , , , , , на які точки , , розбивають всю область визначення даної функції і занесемо отримані дані в таблицю 2.3.2.

Таблиця 2.3.2 – Дослідження функції за допомогою першої похідної

	-		+	-	+		+	-	+		-
		min		-		-		-		max

, .

6. Визначаємо інтервали опуклості і увігнутості, точки перегину графіка.

Знаходимо другу похідну ; при , а при не існує. Визначимо знаки в кожному з інтервалів , , , (таблиця 2.3.3).

Таблиця 2.3.3 – дослідження функції за допомогою другої похідної

	+	–		+	–
Графік	увігнутість	опуклість	перегин	увігнутість	опуклість

·

– 3

Рис. 2.3.3 – Графік функції