Пример решения

Построим гистограмму и график интегральной функции распределения для данных из примера 2.

Значения наработок разжимных кулаков тормоза на отказ в порядке возрастания в тыс. км:

59,5; 86,8; 100,9; 106,3; 113,5; 118,9; 122,7; 123,8; 136,0; 139,1; 140,3; 140,7; 142,5; 147,2; 148,2; 148,9; 151,1; 151,2; 167,9; 169,1; 169,3; 171,2; 174,4; 178,2; 184,5; 185,6; 185,7; 186,6; 187,3; 187,9; 188,2; 190,2; 198,9; 200,7; 206,9; 208,1; 209,1; 209,6; 213,2; 214,0; 244,2; 247,0; 255,0; 261,8; 280,4;

В качестве первого приближения принять число интервалов, рассчитанное по формуле Стенжерса.

Принимаем число интервалов k =6, ширину интервала

Определить границы интервалов

,

для первого интервала, ; для второго интервала,

Середину интервала X _j, вычислить по формуле (2.5):

59,5+96,3/2=77,9; 96,3+133,1=114,7; 133,1+169,9=151,5; 169,9+206,7=188,3; 206,7+243,5=225,1; 243,5+280,4=261,95

Подсчитать число попаданий m_j наблюденийвходящих в середину первого интервала. Полученные параметры свести в таблицу 4.

Гистограмма выборки на полученных интервалах (2.12)

=1/(45·36,8)=1/1656=0,0006 =3/(45·36,8)=0,0018

=10/(45·36,8)=0,0060 =10/(45·36,8)=0,0060

=6/(45·36,8)=0,0036 =4/(45·36,8)=0,0024

Таблица 4

Тогда гистограмма распределения случайной величины пробега автомобиля при исправных кулаках тормозной системы примет вид (рис. 3).

Рис. 3

В этом случае распределение имеем одну инверсию (при переходе с 4 на 5 интервал).

Принять число интервалов k = 7,

ширина интервала ∆x = 31,5.

Произведём расчеты и занесём в таблицу 5

Определим границы интервалов

,

для первого интервала, ; для второго интервала,

Середину интервала X _j, вычислить по формуле (2.5):

59,5+91/2=75,3 91+122,5/2=106,8 122,5+154/2=138,3

154+185,5/2=169,8 185,5+217/2=201,3 217+248,5/2=232,8

248,5+280/2=264,3

Подсчет частот

Таблица 5

Номер интервала	Границы интервалов	Середина интервала,	Число попаданий,
	59,5-91	75,3
	91-122,5	106,8
	122,5-154	138,5
	154-185,5	169,8
	185,5-217	201,3
	217-248,5	232,8
	248,5-280	264,3

Гистограмма выборки на полученных интервалах:

=1/(45·31,5)=1/1417,5=0,0007 =2/(45·31,5)=0,0014

=3/(45·31,5)=0,0021 =3/(45·31,5)=0,0021

=8/(45·31,5)=0,0056 =0/(45·31,5)=0

=2/(45·31,5)=0,0014

Тогда гистограмма распределения случайной величины пробега автомобиля при исправных кулаках тормозной системы примет вид (рис. 4).

Рис. 4

В этом случае опять получаем две инверсии (при переходе с 5 на 6 интервал и с 6 на 7).

Принимаем число интервалов k = 8. Расчеты свести в таблицу 6.

ширина интервала ∆x = 27,6.

Определим границы интервалов

,

x=59,5+27,6=87,1 x=87,1+27,6=114,7 x=114,7+27,6=142,3 x=142,3+27,6=169,9 x=169,9+27,6=197.5 x=197,5+27,6=225,1 x=225,1+27,6=252,7 x=252,7+27,6=280,3

Середину интервала X _j, вычислить по формуле (2.5):

59,5+87,1/2=73,3 87,1+114,7/2=100,9 114,7+142,3/2=128,5

142,3+169,9/2=156,1 169,9+197,5/2=183,7 197,5+225,1/2=211,3

225,1+252,7/2=238,9 252,7+280,3/2=266,5

Подсчет частот

Номер интервала	Границы интервалов	Середина интервала	Число попаданий, m j
	59,5-87,1	73,3
	87,1-114,7	100,9
	114,7-142,3	128.5
	142,3-169,9	156,1
	169,9-197,5	183,7
	197,5-225,1	211,3
	225,1-252,7	238,9
	252,7-280,3	266,5

Таблица 6

Гистограмма выборки на полученных интервалах:

=1/(45·27,6)=1/1242=0,0008 =1/(45·27,6)=0,0008

=3/(45·27,6)=0,0024 =6/(45·27,6)=0,0048

=3/(45·27,6)=0,0024 =6/(45·27,6)=0,0048

=0/(45·27,6)=0 =2/(45·27,6)=0,0016

Тогда гистограмма распределения случайной величины пробега автомобиля при исправных кулаках тормозной системы примет вид (рис. 5).

Рис. 5

И в этом случае получаем четыре инверсии (при переходе с 4 на 5, с 5 на 6, с 6 на7 и с 7 на 8 интервалы).

Принимаем число интервалов k = 9. Расчеты свести в таблицу 7.

ширина интервала ∆x = 24,5.

Определим границы интервалов

,

x=59,5+24,5=84 x=84+24,5=108,5 x=108,5+24,5=133 x=133+24,5=157,5

x=157,5+24,5=182 x=182+24,5=206,6 x=206,5+24,5=231 x=231+24,5=255,5

x=255,5+24,5=280

Середину интервала X _j, вычислить по формуле (2.5):

59,5+84/2=71,8 84+108,5/2=96,3 108,5+133/2=120,8

133+157,5/2=145,3 157,5+182/2=169,8 182+206,5/2=194,3

206,5+231/2=218,8 231+255,5/2=243,3 255,5+280/2=267,8

Подсчет частот

Таблица 7

Номер интервала	Границы интервалов	Середина интервала,	Число попаданий,
	59,5-84	71,8
	84-108,5	96,3
	108,5-133	120,8
	133-157,5	145,3
	157,5-182	169,8
	182-206,5	194,3
	206,5-231	218,8
	231-255,5	243,3
	255,5-280	267,3

Гистограмма выборки на полученных интервалах при k =9:

=1/(45·24,5)=1102,5=0,0009 =1/(45·24,5)=0,0009

=2/(45·24,5)=0,0018 =5/(45·24,5)=0,0045

=3/(45·24,5)=0,0027 =8/(45·24,5)=0,0072

=6/(45·24,5)=0,0054 =0/(45·24,5)=0

=1/(45·24,5)=0,0009

Тогда гистограмма распределения случайной величины пробега автомобиля при исправных кулаках тормозной системы примет вид (рис.6).

В данном случае имеем четыре инверсии (при переходе с 4 на 5, с 5 на 6, с 6 на 7 и с 8 на 9 интервал).

Таким образом для нормального закона распределения правомерно принять количество интервалов равное 7, т.к. количество инверсий минимально, а количество интервалов наибольшее.

Рис.6

Определить функцию распределения случайной величины F (x _j) (2,13) при семи интервалах группирования:

Для первого интервала ; для второго интервала ;

Опытные значения функция распределения F (x_j) представить в виде графика (рис.7)

Рис. 7