Методические Указания. Рассмотрим решение задачи № 3 на двух примерах

Рассмотрим решение задачи № 3 на двух примерах.

Пример 1. Пусть в таблице 6.7 задано.

1. Данным таблицы соответствует схема замещения рис. 6.9.

Рис. 6.9. Схема замещения электрической цепи

2. Пусть в таблице 6.8 параметры элементов схемы имеют следующее значение.

Для расчета параметров четырёхполюсника необходимо определить сопротивления всех элементов схемы.

Для резисторов сопротивления заданы в таблице 6.8.

R₁ = 20 Ом; R₂ = 25 Ом; R₃ = 30 Ом.

Сопротивление катушек индуктивности рассчитываются по формулам.

X_L1 = 2πf L₁ = 60 Ом; X_L2 = 2πf L₂ = 80 Ом; X_L3 = 2πf L₃ = 70 Ом;

Комплексное сопротивление ветвей электрической цепи.

Z ₁ = R₁ + jX_L1 = 20 + j60 = 63,25e ^{j 71,6} Ом;

Z ₂ = R₂ + jX_L2 = 25 + j80 = 83,8e ^{j 72,6} Ом;

Z ₃ = R₃ + jX_L3 = 30 + j70 = 76,16e ^{j 66,8} Ом;

Коэффициент взаимоиндукции M определяется через заданный коэффициент связи K_C и индуктивности магнитно связанных катушек L₁ и L₂ по формуле.

M = K_C • = 0,65• = 0,07171 Гн = 71,71 mГн.

Сопротивление взаимоиндукции X_M определяется выражением.

X_M = 2πf M = 45 Ом.

3. Связь между напряжениями и токами пассивного четырёхполюсника определяется следующей системой уравнений.

Ủ₁ = A Ủ₂ + B Ỉ₂ . (6.1)

Ỉ₁ = C Ủ₂ + D Ỉ₂ . (6.2)

Параметры A, B, C, D рассчитаем с помощью законов Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа для электрической цепи рис. 6.9.

Ỉ₁ = Ỉ₂ + Ỉ₃ .

Для определения тока Ỉ₃ найдём напряжение между точками 6 и 2 с учётом взаимоиндуктивности катушек L₁ и L₂ ( см.5.4.3).

Ủ₆₂ = Z ₂ • Ỉ₃ + j X_M • Ỉ₁ Ỉ₃ = (Ủ₆₂ – j X_M • Ỉ₁): Z ₂ .

Напряжение Ủ₆₂ можно найти, пройдя от точки 6 к точке 2 по другой ветви.

Ủ₆₂ = Z ₃ • Ỉ₂ + Ủ₂ .

Подставив его значение в предыдущую формулу, получим выражение для тока Ỉ₃ .

Ỉ₃ = (Z ₃ • Ỉ₂ + Ủ₂ – j X_M • Ỉ₁): Z ₂ (6.3)

и после преобразований для тока Ỉ₁ .

Ỉ₁ = Ủ₂ + Ỉ_{2 .} (6.4)

Сопоставляя уравнения (2) и (4) можно видеть, что коэффициенты C и D соответственно определяются выражениями.

C = = = 0,007845e ^{– j78,69} См;

D = = = = = 1,2533e ^{– j8,83} .

Для нахождения параметров A и B составим уравнения по второму закону Кирхгофа для контура Ủ₁ → Z ₁ → Z ₃ → Ủ₂ .

Ủ₁ = Z ₁ • Ỉ₁ + j X_M • Ỉ₃ + Z ₃ • Ỉ₂ + Ủ₂

Подставив в это уравнение выражения для Ỉ₃ (6.3) и для Ỉ₁ (6.4) после преобразований окончательно получим.

Ủ₁ = Ủ₂ + Ỉ₂ .

Таким образом, сопоставляя полученное выражение с уравнением (6.1), можно рассчитать коэффициенты A и B.

A = = = = =

=1,494e^-j2,39 ;

B = =

= =

= =

= = 168,74e^j63,61 Ом.

Проверку правильности расчёта коэффициентов A,B,C,D сделаем по уравнению, которое справедливо для любого пассивного четырёхполюсника.

A • D – B • C = 1.

• – • = 1

4. Рассчитаем токи в рассматриваемой электрической цепи в режиме короткого замыкания (см. табл. 6.7). Схема в этом случае имеет вид рис. 6.10.

Рис. 6.10. Схема электрической цепи в режиме короткого замыкания

Поскольку выходные зажимы четырехполюсника 3 и 4 замкнуты накоротко, то напряжение Ủ₂ равно нулю, и уравнения (6.1) и (6.2) приобретают вид.

Ủ₁ = B Ỉ₂ . (6.5)

Ỉ₁ = D Ỉ₂ . (6.6 )

Из уравнения (6.5) может быть определён ток Ỉ₂ . При этом примем начальную фазу напряжения Ủ₁ равной нулю.

Ỉ₂ = Ủ₁ : B = 90e ^{j 0} : 168,74 ^{j 63,61} = 0,53 e ^{-j 63,61} А.

Из уравнения (6.6) находим Ỉ₁ .

Ỉ₁ = D Ỉ₂ = 1,253e ^{– j8,89} • 0,53 e ^{-j 63,61} = 0,664e ^{-j 72,5} А.

Из первого закона Кирхгофа для узла 6 найдём ток Ỉ₃ .

Ỉ₃ = Ỉ₁ – Ỉ₂ = 0,664e ^{-j 72,5} – 0,53 e ^{-j 63,61} = – 0,0359 – j0,1585 = 0,1625e ^{–j 102,8} А.

5. Для построения потенциальной диаграммы рассчитаем напряжения на элементах электрической цепи.

Ủ₁₅ = Ủ_R1= R₁ • Ỉ₁ = 20 • 0,664e ^{-j 72,5}= 13,28e ^{-j 72,5} B.

При расчете напряжения на катушке L₁ учтём не только падение напряжения от тока Ỉ₁ , но и напряжение, наводимое через взаимоиндуктивность от тока Ỉ₃ .

Ủ₅₆ = Ủ_L1= jX_L1 • Ỉ₁ + jX_M • Ỉ₃ = 60e ^{j 90} • 0,664e ^{-j 72,5} + 45 e ^{j 90} • 0,1625e ^{–j 102,8} =

= 39,84e ^{j 17,5} + 7,31e ^{–j 12,8} = 45,1 +j10,36 = 46,28 e ^{j 12,94} B.

Остальные напряжения рассчитаем аналогично.

Ủ₆₇ = Ủ_R2= R₂ • Ỉ₃ = 25 • 0,1625e ^{–j 102,8} = 4,06 e ^{–j 102,8} B;

Ủ₇₂ = Ủ_L2= jX_L2 • Ỉ₃ + jX_M • Ỉ₁ = 80e ^{j 90} • 0,1625e ^{–j 102,8} + 45e ^{j 90} • 0,664e ^{-j 72,5}=

= 13e ^{–j 12,8} + 29,88e ^{j 17,5} = 41,17 +j6,1= 41,62e ^{j 11,54} B.

Ủ₆₈ = Ủ_R3= R₃ • Ỉ₂ = 3 0 • 0,53 e ^{-j 63,61} = 15,9 e ^{-j 63,61} B.

Ủ₈₂ = Ủ_L3= jX_L3 • Ỉ₂ = 70e ^{j 90} • 0,53 e ^{-j 63,61} = 37,1 e ^{j 26,39} B.

При построении потенциальной диаграммы примем потенциал точки 2 равным нулю (φ₂ = 0).

Рис. 6.8. Векторная диаграмма токов и потенциальная диаграмма напряжений электрической цепи

6. расчёт параметров активного двухполюсника, эквивалентного четырёхполюснику, проведём методом холостого хода и короткого замыкания.

При холостом ходе уравнение (6.1) имеет вид.

Ủ_1ХХ = A Ủ_2ХХ.

Тогда, приняв напряжение Ủ_1ХХ =Ủ₁ = 90 В и зная рассчитанное значение А = 1,494e^-j2,39 , имеем

Ủ_2ХХ = В.

При коротком замыкании уравнение (6.1) имеет вид.

Ủ_1КЗ = B Ỉ_2КЗ .

При том же напряжении на входе электрической цепи и при рассчитанном значении В = 168,74 ^{j 63,61} Ом имеем.

Ỉ_2КЗ = А.

Внутреннее сопротивление активного двухполюсника (эквивалентного генератора) определяем как отношение напряжение холостого хода на зажимах двухполюсника к току его короткого замыкания.

Z _ВН = Ом.

Схема активного двухполюсника с подключённым приёмником энергии Z _Н представлена на рис.6.11, где эквивалентная ЭДС двухполюсника

Ẻ_Э = Ủ_2ХХ = 60,24e^j2,39

При согласованной нагрузке сопротивление приёмника энергии Z _Н равно внутреннему сопротивлению активного двухполюсника Z _ВН ( см.5.8.6). То есть

Z _Н = Z _ВН = 113,66e^j66 Ом.

Рис 6.11. Схема активного двухполюсника с приёмником энергии

Тогда ток приёмника энергии определяется по формуле.

Ỉ = A.

Пример 2. Рассмотрим другой метод определения A, B, C, D параметровчетырёхполюсника. Пусть в таблице 6.7 задано.

1.

Рис. 6.12. Схема замещения электрической цепи

2. Пусть в таблице 6.8 параметры элементов схемы имеют то же значение, что и в примере 1.

Для расчета параметров четырёхполюсника определим сопротивления всех элементов схемы.

Для резисторов сопротивления заданы в таблице 6.8.

R₁ = 20 Ом; R₂ = 25 Ом; R₃ = 30 Ом.

Сопротивление катушек индуктивности рассчитываются по формулам.

X_L1 = 2πf L₁ = 60 Ом; X_L2 = 2πf L₂ = 80 Ом; X_L3 = 2πf L₃ = 70 Ом;

Комплексное сопротивление ветвей электрической цепи.

Z ₁ = R₁ + jX_L1 = 20 + j60 = 63,25e ^{j 71,6} Ом;

Z ₂ = R₂ + jX_L2 = 25 + j80 = 83,8e ^{j 72,6} Ом;

Z ₃ = R₃ + jX_L3 = 30 + j70 = 76,16e ^{j 66,8} Ом;

Коэффициент взаимоиндукции M определяется через заданный коэффициент связи K_C и индуктивности магнитно-связанных катушек L₁ и L₂ по формуле (см. 5.4.3).

M = K_C • = 0,65 • = 0,07171 Гн = 71,71 mГн.

Сопротивление взаимоиндукции X_M определяется выражением.

X_M = 2πf M = 45 Ом.

3. Связь между напряжениями и токами пассивного четырёхполюсника определяется уже рассмотренной системой уравнений (см. 5.4.4).

Ủ₁ = A Ủ₂ + B Ỉ₂ . (6.1)

Ỉ₁ = C Ủ₂ + D Ỉ₂ . (6.2)

Параметры A, B, C, D рассчитаем методом холостого хода и короткого замыкания.

При холостом ходе четырёхполюсника ток Ỉ_2ХХ = 0. Тогда уравнения (6.1) и (6.2) примут вид.

Ủ_1ХХ = A Ủ_2ХХ; (6.7)

Ỉ_1ХХ = C Ủ_2ХХ . (6.8 )

Из них можно найти коэффициенты А и С.

А = Ủ_1ХХ: Ủ_2ХХ ; С = Ỉ_1ХХ : Ủ_2ХХ

Поскольку в схеме электрической цепи (рис. 6.9) к зажимам 3 и 4 в режиме холостого хода нагрузка не подключена, то I_3ХХ = I_5ХХ . В связи с этим по второму закону Кирхгофа имеем.

Ủ_1ХХ = Z ₂ • Ỉ_3ХХ – j X_M • Ỉ_4ХХ + Z ₃ • Ỉ_5ХХ = (Z ₂ + Z ₃ ) • Ỉ_3ХХ – j X_M • Ỉ_4ХХ ;

Ủ_1ХХ = Z ₁ • Ỉ_4ХХ – j X_M • Ỉ_3ХХ .

В этих уравнениях знак минус перед j X_M указывает навстречное действие индуктивно связанных катушек.

Решая полученные уравнения относительно токов Ỉ_3ХХ и Ỉ_4ХХ, имеем.

Ỉ_3ХХ = ; (6.9)

Ỉ_4ХХ = . (6.10)

Напряжение на выходе четырёхполюсника

Ủ_2ХХ = Z ₃ • Ỉ_3ХХ = .

Отсюда находим коэффициент А четырёхполюсника.

А = Ủ_1ХХ: Ủ_2ХХ = = 1,1325e ^–j12,98.

По первому закону Кирхгофа определим ток Ỉ_1ХХ на входе четырёхполюсника.

Ỉ_1ХХ = Ỉ_3ХХ + Ỉ_4ХХ = . (6.11)

С учётом известного Ủ_2ХХ находим коэффициент С четырёхполюсника.

С = Ỉ_1ХХ : Ủ_2ХХ = = 0,03799e ^–j70,06 См.

Для расчёта коэффициентов В и D рассмотрим режим короткого замыкания четырёхполюсника. Схема в этом случае приобретает вид рис. 6.13.

Рис. 6.13. Схема электрической цепи в режиме короткого замыкания

Очевидно, что в этом режиме Ủ_2КЗ = 0 и I_5КЗ = 0. Поэтому Ỉ_2КЗ = Ỉ_3КЗ, и уравнения четырёхполюсника принимают вид.

Ủ_1КЗ = B Ỉ_2КЗ; (6.12)

Ỉ_1КЗ = D Ỉ_2КЗ . (6.13 )

Из этих уравнений легко находятся коэффициенты B и D.

B = Ủ_1КЗ : Ỉ_2КЗ ; D = Ỉ_1КЗ : Ỉ_2КЗ .

По схеме в режиме короткого замыкания напряжение Ủ_1КЗ приложено к ветвям Z ₁ и Z ₁ . С учётом взаимоиндуктивности уравнения для этих ветвей имеют вид.

Ủ_1КЗ = Z ₁ • Ỉ_4КЗ – j X_M • Ỉ_2КЗ ; (6.14)

Ủ_1КЗ = Z ₂ • Ỉ_2КЗ – j X_M • Ỉ_4КЗ . (6.15)

Решив эту систему уравнений относительно Ỉ_2КЗ, имеем.

Ỉ_2КЗ = U_1КЗ .

Отсюда находим коэффициент В четырёхполюсника.

B = Ủ_1КЗ : Ỉ_2КЗ = = 35,97e^j47,04 Oм.

Из уравнений (14) и (15) найдём Ỉ_4КЗ .

Ỉ_4КЗ = U_1КЗ .

По первому закону Кирхгофа

Ỉ_1КЗ = Ỉ_2КЗ + Ỉ_4КЗ = U_1КЗ .

Отсюда коэффициент D четырёхполюсника

D = Ỉ_1КЗ : Ỉ_2КЗ = = 1,781e ^–j2,92

Проверка правильности расчёта коэффициентов проводится по уравнению

A • D – B • C = 1.

• – • = 1

4. Для расчёта токов в режиме холостого хода в соответствии с заданием можно использовать выведенные ранее выражения для них (9), (10), (11). Предварительно задавшись начальной фазой напряжения, равной нулю, имеем

Ỉ_3ХХ = = = 1,117e^-j53,82 A;

В связи с отсутствием нагрузки на зажимах четырёхполюсника Ỉ_5ХХ = Ỉ_3ХХ.

Ỉ_4ХХ = = = 2,117e ^–j58,79 A;

Ỉ_1ХХ = = = 3,23e ^–j57,08 A.

5. Для построения потенциальной диаграммы рассчитаем напряжения на отдельных элементах схемы электрической цепи.

Ủ₇₂ = j X_L3 • Ỉ_5ХХ = 70e^j90 • 1,117e^-j53,82 = 78,19e ^j36,18 В;

Ủ₃₇ = R₃ • Ỉ_5ХХ = 30 • 1,117e^-j53,82 = 33,51e ^-j53,82 В;

Ủ₆₃ = j X_L2 • Ỉ_3ХХ – j X_М • Ỉ_4ХХ = 80e^j90 • 1,117e^-j53,82 – 45e^j90 • 2,117e ^–j58,79 =

= 89,36e ^j36,18 – 95,265e ^j31,21 = – 9,35 + j3,39 = 9,95e ^j160?07 В;

Ủ₁₆ = R₂ • Ỉ_3ХХ = 25 • 1,117e^-j53,82 = 27,925e ^-j53,82 В;

Ủ₅₂ = j X_L1 • Ỉ_4ХХ – j X_М • Ỉ_3ХХ = 60e^j90 • 2,117e ^–j58,79 – 45e^j90 • 1,117e^-j53,82 =

= 127,02e ^j31,21 – 50,265e ^j36,18 = 68,06 +j36,15 = 77,06e ^j27,98 В;

Ủ₁₅ = R₁ • Ỉ_4ХХ = 20 • 2,117e ^–j58,79 = 42,34 e ^–j58,79 В.

При построении потенциальной диаграммы примем потенциал точки 2 равным нулю (φ₂ = 0). Векторная диаграмма токов и потенциальная диаграмма напряжений представлены на рис. 6.14.

Рис. 6.14. Векторная диаграмма токов и потенциальная диаграмма

напряжений

6. расчёт параметров активного двухполюсника, эквивалентного четырёхполюснику, проведём методом холостого хода и короткого замыкания.

При холостом ходе уравнение (6.1) имеет вид.

Ủ_1ХХ = A Ủ_2ХХ.

Тогда, приняв напряжение Ủ_1ХХ =Ủ₁ = 90 В и зная рассчитанное значение А = 1,1325e^-j12,98 , имеем

Ủ_2ХХ = В.

При коротком замыкании уравнение (6.1) имеет вид.

Ủ_1КЗ = B Ỉ_2КЗ .

При том же напряжении на входе электрической цепи и при рассчитанном значении В = 35,97 ^{j 47,84} Ом имеем.

Ỉ_2КЗ = А.

Внутреннее сопротивление активного двухполюсника (эквивалентного генератора) определяем как отношение напряжение холостого хода на зажимах двухполюсника к току его короткого замыкания.

Z _ВН = Ом.

Схема активного двухполюсника с подключённым приёмником энергии Z _Н представлена на рис.6.15, где эквивалентная ЭДС двухполюсника

Ẻ_Э = Ủ_2ХХ = 79,47e^j12,98 B.

При согласованной нагрузке сопротивление приёмника энергии Z _Н равно внутреннему сопротивлению активного двухполюсника Z _ВН (см. 5.8.6). То есть

Z _Н = Z _ВН = 31,79e^j60,8 Ом.

Рис 6.15. Схема активного двухполюсника с приёмником энергии

Тогда ток приёмника энергии определяется по формуле.

Ỉ = A.

Задача №4.

Для электрической цепи рис. 6.16

1. в соответствии с табл. 6.9 нарисовать схему замещения (вариант выбирается по последним цифрам зачетки);

2. по данным табл. 6.10 определить комплексы действующего значения ЭДС всех фаз источника электрической энергии и сопротивления ветвей электрической цепи;

3. по заданным параметрам электрической цепи рассчитать фазные и линейные токи, а также ток в нейтральном проводе;

4. определить напряжение на всех элементах электрической цепи;

5. проверить расчет по балансу мощности;

6. построить потенциальную (топографическую) диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов электрической цепи.

Рис. 6.16. Схема электрической цепи

Таблица 6.9. Вид сопротивления ветвей электрической цепи

Таблица 6.10. Параметры элементов электрической цепи