Критерії якості перехідних процесів АСР

Якість перехідних процесів АСР можна визначити за частотними, кореневими або інтегральними критеріями.

Найбільшу наочність мають частотні критерії якості, які використовують властивості частотних характеристик замкненої та розімкненої системи. Так, за видом амплітудно-частотної характеристики замкненої системи за зміною завдання (рис.5.4) можна визначити частотний показник коливальності:

(5.3)

Чим більше це відношення, тим сильніша коливальність і, як наслідок, тривалість перехідного процеса . Якість вважається задовільною при . Непрямими частотними показниками швидкодії системи є характерні частоти: резонансна , незагасаючих коливань (часто можна прийняти ) та частота пропускання .

Рис.5.4. Амплітудно-частотна характеристика замкненої системи

Рис.5.5. Показники запасу стійкості

За амплітудно-фазовою характеристикою розімкненої системи (рис.5.5) можна визначити запас за амплітудою:

(5.4)

та за фазою:

(5.5)

Ці показники фактично характеризують віддаленість кривої від критичної точки на комплексній площині з координатами (-1; j0). Раніше відзначалось, що при проектуванні систем приймається запас стійкості за амплітудою і за фазою . Такі показники запасу стійкості забезпечують і необхідну якість перехідних процесів.

Між частотними та часовими характеристиками системи існує однозначний зв’язок. Так визначено, що перехідна функція замкненої системи може визначатись за дійсною або уявною частотними характеристиками замкненої системи:

(5.6)

(5.7)

де: - перехідна функція замкненої системи, тобто часова характеристика при одиничному ступінчатому діянні.

Рис.5.6. Дійсна частотна характеристика замкненої системи

Для оцінки якості перехідних процесів можна використовувати дійсну частотну характеристику замкненої системи, наприклад за зміною завдання (рис.5.6). Інтервал частот - називається інтервалом позитивних частот, - суттєвих. Після мало впливає на якість перехідного процесу. Якщо для частоти виявиться, що , то в першому наближенні можна приймати до уваги лише інтервал позитивності . Значення U(0) при частотах та впливає лише на початок перехідного процесу і їх можна відкинути, а початок U(ω) визначає головним чином кінцеву частину перехідного процесу. Аналіз інтегралів (5.6)-(5.7) та графіку U(ω) (рис.5.6) дає можливість зробити такі оцінки щодо якості перехідного процесу:

- статична похибка після нанесення одиничного стрибка дорівнює U(0). Якщо це зміна завдання, то U(0)=1 або деякому коефіцієнту К₀ (з урахуванням відтворення зміни завдання). При оцінці характеристик відносно збурення U(0)→min, а в астатичній системі U(0)=0;

- порівняння графіків рис.5.7,а та 5.7,б показує відповідність та . При наявності екстремума перехідний процес коливальний, при відсутності – аперіодичний;

- перехідний процес тим швидше загасає, чим більше значення (при цьому менша інерційність);

- для мінімально-фазових систем замість можна використовувати .

Кореневі критерії якості дають можливість оцінити або задати показники перехідного процесу за розташуванням коренів характеристичного полінома на комплексній площині. При цьому необхідно аналізувати не лише полюси (як при аналізі стійкості), а й

Рис.5.7. Дійсна частотна (а) та перехідна (б) характеристики замкненої системи

нулі передаточної функції системи. Наприклад, передаточна функція замкненої системи відносно збурення має вид:

, (5.8)

де:

(5.9)

(5.10)

Розклавши багаточлени M(p) i D(p) на множники, передаточну функцію (5.8) можна виразити так:

(5.11)

де: - відповідно полюси та нулі передаточної функції. При цьому значення нулів залежить від місця, де прикладене діяння.

Розглянемо частинний випадок, коли передаточна функція (5.11) не має нулів:

(5.12)

Для цього випадку перехідний процес, який визначається лише полюсами , має вид:

(5.13)

Як відомо в цьому перехідному процесі є аперіодична та коливальні складові (відповідно визначаються дійсними та попарно спряженими комплексними коренями). Тоді можна знайти тривалість найбільш тривалої та коливальність найбільш коливальної складових, що і визначить ці оцінки всього перехідного процесу (їх верхні границі).

Рис.5.8. Ступінь стійкості системи

Критерій тривалості – ступінь стійкості (рис.5.8) показує відстань від уявної осі (яка є межею стійкості) до найбільшого кореня характеристичного рівняння замкненої системи. Час затухання окремої складової перехідного процесу визначається величиною , або , де - постійна часу загасання, - дійсна частина і-го кореня характеристичного рівняння. Тривалість певної складової , тобто вона обернено пропорційна абсолютному значенню дійсної частини відповідного кореня. Таким чином, самою тривалою складовою є така, яка визначається коренем з мінімальною величиною дійсної частини:

(5.14)

Тоді тривалість перехідного процесу буде:

(5.15)

Назва показника “ступінь стійкості” пов’язана з тим, що показує фактично відстань від межі стійкості.

Критерій коливальності – ступінь коливальності. Коливальність коливальної складової перехідного процесу

(5.16)

визначається відношенням амплітуд перехідного процесу:

(5.17)

де: - період коливань даної складової. Тоді коливальність дорівнює , а при буде . Таким чином, мірою коливальності є відношення : чим більше це відношення, тим більше коливальність складової перехідного процесу, а найбільш коливальною є складова, для якої це відношення буде максимальним:

(5.18)

Рис.5.9. Ступінь коливальності системи

В практичних розрахунках використовують показник , який приймають в межах . Варто зауважити, що в системі довільного порядку найбільш швидкий аперіодичний перехідний процес має місце, коли всі n коренів рівні. На комплексній площині корінь, який визначає найбільш коливальну складову, відповідає найбільшому значенню кута (рис.5.9).

Для визначення критеріїв якості та можна використовувати критерії стійкості Рауса-Гурвиця або Михайлова. В задачах синтезу систем обирають один - два параметри, які можуть змінюватись в певних межах, і визначають їх вплив на степінь стійкості побудовою області стійкості в площині, наприклад і одного з параметрів системи. Можна отримати також лінії однакового ступіню стійкості з різними значеннями .

При використанні критеріїв і необхідно враховувати, що оцінки тривалості та коливальності перехідних процесів є граничними, тобто перехідний процес в системі може мати кращу якість. Якщо розглядати загальний випадок, коли передаточна функція системи має нулі, то це відповідає наявності правої частини рівняння, тому оцінка якості може бути неточною, але завжди якість перехідних процесів тим краще, чим більше і менше .

В технічній літературі наводиться приклад оптимального розташування коренів характеристичного полінома та значення відповідних коефіцієнтів. Для реальних систем значна частина коефіцієнтів характеристичного рівняння фіксована, тому свобода вибору щодо розташування коренів обмежена. В цьому випадку обирають два - три корені, які визначають якість перехідних процесів, а решту розташовують в глибині комплексної напівплощини шляхом обмежень на дійсні частини. При цьому відношення уявної та дійсної частини цих коренів не регламентується, оскільки швидкість загасання буде значною та виявлятись лише на початку перехідного процесу.

Визначення показників та за рівнянням з відомими коефіцієнтами – трудомістка задача, тому частіше розв’язується обернена задача – визначення коефіцієнтів рівнянь та параметрів системи, при яких всі корені лежать в області із заданими значеннями і . Для систем невисоких порядків розроблено метод кореневого годографа, коли на комплексній площині будуються траекторії (годографи) переміщення коренів характеристичного рівняння при зміні параметрів системи, що приводить до бажаного розташування цих коренів.

Вплив розташування коренів на якість перехідного процесу та стійкість добре ілюструє діаграма І.О.Вишнеградського (1876 р.), побудована для систем третього порядку (рис.5.10).

Рис.5.10. Діаграма І.О.Вишнеградського

Характеристичне рівняння системи:

(5.19)

приводиться до нормованого вигляду шляхом ділення на а₀ і введення нової змінної :

(5.20)

де: ; .

Приймаючи А₁>0,A₂>0 в площині параметрів А₁-А₂ будується область стійкості, яка розділяється на три складові:

- І – обмежена лініями abc, відповідає трьом дійсним кореням (різним), що приводить до аперіодичних процесів;

- ІІ – обмежена лініями abd, відповідає парі комплексним коренів та одному дійсному, розташованому ближче до уявної осі – монотонний перехідний процес;

- ІІІ – обмежена лінією dbc та межею стійкості, відповідає також парі комплексних коренів та одному дійсному, але до уявної осі ближче знаходяться комплексні корені – коливальний перехідний процес.

Одними з найбільш зручних для оцінки якості перехідних процесів є інтегральні критерії якості, особливо при використанні комп’ютерного моделювання. Це узагальнені показники, які фактично дають оцінку величини площі під кривою перехідного процесу, і тоді однозначно формулюється вимога зменшення відхилення та тривалості перехідного процесу. Використовуються такі інтегральні критерії:

- лінійний

; (5.21)

- квадратичний

; (5.22)

- покращений квадратичний

(5.23)

Лінійний інтегральний критерій є найбільш простим, його зручно використовувати для оцінки якості аперіодичних перехідних процесів, а для коливальних необхідно визначати площі різного знаку під кривими і складати їх за абсолютним значенням. Оцінка може привести до перехідного процесу з малим відхиленням, але з недостатнім затуханням.

Найбільш зручним є квадратичний інтегральний критерій . При його використанні наайбільшу вагу мають перші амплітуди, що також може привести до перехідних процесів з недостатнім затуханням. Цей критерій безпосередньо зв’язаний з характеристиками системи, його значення можна знайти за формулою Релея:

(5.24)

де: - АФХ замкненої системи за каналом збурення;

- Фур’є-перетворення збурення.

Урахування в критерії швидкості відхилення змінної розширює діапазон його застосування, а ваговий коефіцієнт Т_в безпосередньо пов’язаний з часом перехідного процесу: , де - бажана тривалість перехідного процесу. Квадратичний інтегральний критерій можна обчислити за коефіцієнтами передаточної функції системи без побудови перехідного процесу.

Різні інтегральні критерії зв’язані між собою та з прямими показниками якості перехідних процесів. Так зменшення приводить до зменшення , , а також до збільшення (зменшення запасу стійкості системи). В проектних розрахунках зв’язують безпосередньо значення з при обмеженні на А₁.

Критерії якості перехідних процесів залежать від сукупності характеристик системи, тому в процесі розробки АСР відбирають найбільш суттєві фактори, наприклад відомий сильний вплив відношення ( - час запізнювання, Т - постійна часу об’єкта) на значення критерія та динамічну похибку А₁. Суттєво змінюється значення критеріїв та показників якості при змінюванні коефіцієнта регулятора К_рег та коефіцієнтів передачі об’єкта за каналами керування К_ок та збурення К_озб.