Математичний опис лінійних систем автоматичного керування

Постановка задачі. Методика формалізованого опису елементів і систем.

Головними задачами теорії автоматичного керування є дві – аналізу та синтезу. В першому випадку задається система та її параметри і необхідно визначити властивості системи, в другому випадку задаються вимоги і необхідно створити систему, яка відповідала б цим вимогам. Друга задача є більш складною і, як правило, не має однозначного розв’язку. Названі задачі розв’язуються на основі математичного опису елементів та системи в цілому, що дає можливість дослідити усталені та перехідні процеси в них. Одним з підходів отримання математичного опису системи є розбиття її на окремі ланки, для кожної з яких визначаються закономірності перетворення вхідного сигналу у вихідний. При цьому виділення ланок здійснюється, виходячи із зручності математичного опису.

При формалізованому описі елементів і систем виконуються такі положення:

- система розглядається як ланцюг взаємодіючих (фізично та інформаційно) елементів, які характеризуються можливістю передавати фізичні діяння та інформаційні сигнали в одному, чітко визначеному, напрямі;

- кожен конструктивний елемент системи розглядається як перетворювач вхідного діяння у вихідну реакцію;

- на основі апріорних даних щодо фізичної природи кожного елемента та закономірностей його функціонування складається математична модель, яка відображає найбільш суттєві для даного випадку взаємозв’язки між вхідними та вихідними змінними елемента;

- при складанні математичної моделі елементів чи системи в цілому завжди виникає необхідність деякої ідеалізації реальних фізичних процесів, певних спрощень фізичних закономірностей, відкидання другорядних факторів. Для цього потрібні глибокі знання процесу (об’єкта), фундаментальних законів, та експериментальна перевірка.

Раніше відзначалось, що реальні системи є нелінійними, і тому проводиться операція лінеаризації, тобто наближеної заміни нелінійних залежностей лінійними. Розглянемо приклад лінеаризації статичної характеристики елемента, схема якого показана на рис.2.1,а

Рис.2.1 Схема елемента – а); статична лінійна характеристика – б); статична нелінійна характеристики – в)

В теорії автоматичного керування використовуються такі методи лінеаризації: аналітичні та графоаналітичні. Статичною характеристикою елемента чи системи називається графічна залежність виходу від входу в статиці (в усталеному режимі). Саме статична характеристика дає можливість визначити передаточний коефіцієнт, тобто пропорційність відхилень вхідних і вихідних змінних.

Якщо статична характеристика задана у вигляді аналітичної залежності

, (2-1)

то її можна розкласти в ряд Тейлора в околі робочої точки:

(2-2)

де: характеризує робочу точку на статичній характеристиці; , - похідні функції в робочій точці.

Відкидаючи другу і старші похідні, отримують рівняння лінійної (лінеаризованої) статичної характеристики

, (2-3)

де: - коефіцієнт передачі.

Рис.2.2.Лінеаризація статичних характеристик методом дотичної(а) та січної (б)

Якщо статичні характеристики задані графічно, то лінеаризовану характеристику можна отримати графічними методами. За методом дотичної проводять дотичну до статичної характеристики в робочій точці А (U₀,Х₀) так, щоб ΔХ₁≈ΔХ₂. Вона і буде лінійною статичною характеристикою в робочому діапазоні U₁,U₂ (рис.2.2.а). Якщо статична характеристика має вигляд, зображений на рис.2.2.б, то застосовують метод січних. Спочатку проводять дотичну до статичної характеристики в робочій точці А так, щоб ΔХ₁≈ΔХ₂, потім ділять навпіл відрізки ΔХ₁ та ΔХ₂, а лінійною характеристикою буде пряма а,b. Для лінійних статичних характеристик коефіцієнт передачі

, (2.4)

де: α – кут нахилу прямої до осі абсцис.

Проводячи лінеаризацію, необхідно оцінити точність заміни нелінійної характеристики лінійною. Наприклад, похибка лінеаризації при використанні метода дотичних буде найбільшою на кінцях робочого діапазону. Необхідно враховувати також, що лінеаризація проводиться в робочій точці А, і при зміні робочого режиму необхідно повторити лінеаризацію в новій робочій точці.

При дослідженні елементів та систем аналізують проходження вхідних сигналів, або, по-іншому визначають реакцію елемента чи системи на вхідний сигнал. Для можливості порівняння властивостей систем в ТАК введено поняття “типові сигнали”, і саме вони використовуються для цієї мети. При цьому властивості елементів та систем оцінюються в часовій та частотній областях, що дає можливість оцінити їх поведінку в статиці та динаміці, тобто визначити їх статичні та динамічні характеристики.

В залежності від характеру зміни сигналів за часом та формою математичного представлення розрізняють:

- регулярні (детерміновані) сигнали, які змінюються за певним законом та описуються конкретною функцією часу;

- нерегулярні (випадкові) сигнали, які змінюються з часом випадково, значення в кожний момент часу – ймовірне.

Типові сигнали – стандартні, які використовуються при теоретичних та експериментальних дослідженнях та описуються простими математичними залежностями і легко відтворюються. Використання типових (“еталонних”) діянь дозволяє уніфікувати розрахунки різних систем та порівнювати їх передаточні властивості.

Основними видами типових регулярних сигналів є:

- ступінчастий (рис.2.3,а). Для цього сигналу характерним є те, що він змінюється стрибкоподібно в момент часу t₀ і зберігає

Рис.2.3. Типові сигнали, а – ступінчастий, б – імпуьсний, в – гармонійний

своє значення напротязі експерименту. Приймається, що величина стрибка має умовну одиницю, тоді

(2.5)

Цей сигнал формується при комп’ютерному моделюванні, а для реальних систем його величина, наприклад переміщення регулюючого органа, має кінцеве значення, і швидкість зміни (стрибок) обмежена. Одиничний ступінчастий сигнал, який подається в момент t=t₁, позначається 1(t - t₁). Стрибкоподібний сигнал використовується для визначення часових характеристик та може імітувати змінювання збурення або сигналу завдання. Необхідно враховувати, що в реальних системах цей сигнал необхідно підтримувати на протязі всього експерименту, що часто приводить до неприпустимих порушень технологічного режиму;

- імпульсний (рис.2.3,б) – одиничний імпульс, який має нескінченно велику висоту і нескінченно малу тривалість, а його площа дорівнює одиниці. Звичайно, це певна ідеалізація, яка в математиці відома як -функція:

(2.6)

Важливою є залежність

, (2.7)

тобто -функція – це похідна від одиничного стрибка. Неодиничний імпульс з площею а₀ позначається як а₀ (t).

Якщо одиничний імпульс діє в момент часу t=t₁, то йому відповідає зміщена дельта-функція (t-t₁). Основна властивість дельта-функції:

, (2.8)

тобто неодинична імпульсна функція , отримана як добуток довільної функції на зміщену дельта-функцію, існує лише в момент . Це фільтруюча або “вихоплююча” властивість дельта-функції. Цей вираз можна також розглядати як розкладення деякої функції U(t) на суму нескінченно великого числа елементарних імпульсів виду , причому кожний елементарний імпульс діє лише в момент та має площу . В реальних системах імпульс має певну тривалість (на рис. 2.3,б показано пунктиром) та величину;

- гармонійний, який відповідає синусоїдальному закону:

, (2.9)

де: - максимальне значення амплітуди, - кругова частота, яка може змінюватись від 0 до , Т – період;

- лінійний, який змінюється за виразом:

, (2.10)

де: - коефіцієнт, який характеризує швидкість наростання сигналу U(t).