Змістовий модуль 3. Теоретико-методичні основи методики розв’язування текстових задач, вивчення дробів та елементів математичної логіки в початкових класах

Тема 8. Науково-методичні основи вивчення дробів у початкових класах. Методика розв’язування типових задач на дроби. Математична модель задач на дроби.

Тема 9. Теоретико-методичні основи методики навчання молодших школярів розв’язувати текстові задачі: 1) метод моделювання змісту простих задач, способів розв’язування їх, складання взаємообернених задач; 2) застосування властивості антисиметричності відношень для обґрунтування способів розв’язування простих задач, сформульованих в непрямій формі; 3) науково-теоретичні основи методики розв’язування складених задач усіх типів: а) на зв’язки між пропорційними величинами, б) на знаходження четвертого пропорційного, в) на пропорційний поділ, г) на знаходження значень величини за двома різницями, д) на складне правило трьох, е) на рух в одному напрямі, в протилежних напрямах, є) на знаходження середнього арифметичного чисел.

Тема 10. Теоретико-методичні основи розв’язування задач за допомогою рівнянь.

Тема 11. Теоретико-методичні основи викладання елементів математичної логіки в початкових класах. Зміст і обсяг поняття. Закон оберненого відношення між змістом і обсягом понять. Види понять. Відношення між поняттями. Прості категоричні судження, їх структура. Дії над судженнями. Міркування. Правила міркувань. Розв’язування логічних задач за допомогою таблиць з двома входами.

Зразок відповіді на питання екзаменаційного білета (№15): «Трактування поняття «рівняння» з однією змінною з точки зору математичної логіки. Типи рівнянь, що вивчаються в початкових класах, і способи їх розв’язування».

Програма з математики для початкової школи вміщує, як відомо, елементи алгебри як навчальний компонент курсу. Тут передбачено ознайомити школярів з поняттями виразу – числового та зі змінною; рівності – числової та рівняння. Одним із питань алгебраїчної пропедевтики в початковій школі є формування уявлень про залежність результату арифметичної дії від зміни одного з компонентів. Ця робота є підготовкою до засвоєння функціональної залежності на наступному ступені математичної освіти. Особливе місце в початковому курсі приділено вивченню теми «Рівняння», яка охоплює такі питання: «Рівняння. Розв’язок (корінь рівняння). Прості рівняння. Рівняння, в яких права частина подана числовим виразом. Рівняння, в яких один з компонентів є числовим виразом. Розв’язування простих задач способом складання рівняння (алгебраїчний метод)».

Вивчення початкового курсу логіки, починаючи з другого класу, забезпечує розуміння молодшими школярами понять «судження» (висловлення) – істинні та хибні.

Як відомо, в науковому курсі логіки рівняння з однією змінною трактується як одномісний предикат А(х), заданий на певній множині, яку називають областю визначення предиката і позначають Х, для якого вимагається знайти область істинності, тобто множину тих значень змінної х з області визначення Х, при яких даний предикат перетворюється в істинне висловлення. Область істинності предиката А(х) позначають Т_А(Х), а стосовно рівняння називають ще множинною розв’язків рівняння.

Розв’язування рівнянь в систематичному курсі алгебри спирається на теореми про еквівалентність (рівносильність) рівнянь і наслідки з них. Але в початковій школі процес розв’язування рівнянь з однією змінною ґрунтується на зв’язках між компонентами і результатом кожної дії та на взаємозв’язках між діями одного ступеня, скажімо між діями множення і ділення: щоб знайти невідоме ділене треба частку помножити на дільник (х:5=3, х=3*5, х=15).

Починаючи з першого класу, ведеться пропедевтична робота по розв’язуванню рівнянь на знаходження невідомих компонентів дій додавання і віднімання:

х+а=b a+x=b a-x=b х-а=b

х=b-а х=b-а х=a-b х=b+а

У другому класі у зв’язку з вивченням дій множення і ділення розглядаються рівняння на знаходження невідомих компонентів цих дій:

х а=b a x=b a x=b х а=b

х=b а х=b а х=a b х=b а

Слід зауважити, що в першому класі невідомий компонент позначають символом «віконечко». Пізніше, в другому класі, після ознайомлення з буквеною символікою невідомі компоненти позначають різними буквами латинського алфавіту, найчастіше – буквою х (ікс).

Наведені зразки рівнянь називають рівняннями I типу. Крім них, розглядаються ще 3 типи рівнянь, всього 4 типи. Другий тип рівнянь – це рівняння, в яких права частина є числовим виразом. Вони зводяться до рівнянь першого типу.

Наприклад, подамо зразок розв’язування рівнянь другого типу.

х-8=6 5,

х-8=30,

х=30+8

х=38

__________

38-8=6 5

30=30.

Третій тип рівнянь – це рівняння, в яких один з компонентів є числовим виразом. Вони зводяться до рівнянь першого типу. Наведемо зразок розв’язування рівнянь третього типу:

(8+7) х=5 4 3+х=15

15 х=5 12+х=15

х=15 5 х=15-12

х=3 х=3

________ ________

(8+7) 3=5 4 3+3=15

15 3=5 12+3=15

5=5 15=15

Четвертий тип рівнянь зустрічається в підручниках 4-го класу, зокрема під час розв’язування текстових задач, що вміщують слово «кілька», і пропонується розв’язувати задачу складаючи рівняння.

Наприклад, задача. В шкільній їдальні було 90 кг борошна. Протягом кількох днів витрачали щоденно по 20 кг борошна, після чого залишилося в їдальні 30 кг борошна. Протягом скількох днів витрачали борошно?

Алгебраїчна модель розв’язання цієї задачі являє собою рівняння четвертого типу, яке зводиться спочатку до рівняння другого типу, а потім до першого типу.

90-20 х=30

20 х=90-30

20 х=60

Алгоритм розв’язування рівнянь складається з таких етапів:

1) встановити, який компонент вміщує невідоме, назвавши спочатку всі компоненти останньої дії, яку слід виконувати у виразі зліва.

2) Сформулювати правило знаходження невідомого компонента.

3) Записати вираз згідно правила, внаслідок чого одержується рівняння другого типу.

4) Обчислити значення виразу справа.

5) Отримане рівняння першого типу розв’язати спираючись на правило зв’язків між компонентами і результатом дій.