Неравенства и их свойства

Запись, в которой два числа или два выражения, содержащие переменные, соединены знаком >, <, ≥, ≤ называется неравенством.

Неравенства, составленные с помощью знаков >, < называются строгими; неравенства, составленные с помощью знаков≥, ≤, называются нестрогими.

Два неравенства вида a > b и c > d называются неравенствами одинакового смысла; а вида a > b, c < d неравенствами противоположного смысла.

Вместо двух неравенств x < a, a < y используется запись x < a < y – двойное неравенство.

Неравенства, содержащие только числа, называются числовыми неравенствами.

Решить неравенство, содержащее переменную, это значит найти множество значений переменной, при котором это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решением неравенства.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Свойства:

1. Если a > b, то b < a.

2. Если a > b и b > c, то a > c.

3. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное неравенство: a > b => a + c > b + c.

4. Если из одной части верного неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое, переменив его знак на противоположный, то получим верное неравенство: a + b > c => a – c > -b.

5. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство: a > b, n > 0 => na > nb ().

6. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство: a > b, n < 0 =>

na < nb ().

7. Неравенства одного смысла можно почленно складывать: a > b, c > d =>a + c > b + d

8. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать:

a > b, c < d => a - c > b - d

9. Если a > b > 0, c > d > 0 => ac > bd.

10. Обе части неравенства можно возводить в одну и ту же натуральную степень: a > b > 0, m N => a^m > b^m.

11. Из каждой части неравенства можно извлекать корень одной и той же натуральной степени: a > b > 0, m N => .