Квадратные уравнения. Теорема Виета

Уравнение вида , где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем, а ≠ 0, называется квадратным.

а – первый коэффициент;

b – второй коэффициент;

с – свободный член.

Квадратные уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, называются неполными.

1) Если ас > 0 – корней нет 2) Если ac < 0		x=0

Выведем формулу корней квадратного уравнения. Для этого решим уравнение , где а ≠ 0. Разделим все его члены на а. Получим равносильное уравнение: (2).

Выделим полный квадрат: .

Тогда уравнение (2) примет вид

или (3).

Число корней зависит от знака дроби , т.к. а ≠ 0, то знак определяется выражением . Обозначим его D = и назовем дискриминантом. Тогда уравнение (3) перепишется в виде: (4). Рассмотрим случаи:

D < 0	D = 0	D > 0
, но для любого действительного x. Значит, корней нет.	Значит, два равных корня .	то или или Значит, два различных корня , где D =

При решении квадратного уравнения, в котором второй коэффициент

b – четное число, используют следующую формулу:

, где .

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называется приведенным: . Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по формулам: ;

.

Теорема Виета: Сумма корней квадратного уравнения равна , произведение корней равно .

Доказательство:

Теорема доказана.

Следствие: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Обратная теорема: Если числа x₁ и x₂ такие, что , то они являются корнями квадратного уравнения .

Определение знаков корней квадратного уравнения.

Оба положительны	Оба отрицательны	Одного знака	Разных знаков

Уравнение 4-ой степени вида , где а ≠ 0, называется биквадратным.