Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Док-во ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Ф(х) = ∫ f(t)dt также первообразная.
Cлед-но ∫ f(x)dx = F(x) - F(a)
Положим x=b, тогда ∫ f(t)dt = F(b) - F(a) Что и требовалось доказать Ф-ла служит для вычисления
Замена переменной или способ подстановки. Пусть мы не можем сразу найти первообр-ю для подыинт. выр-я. Сделаем замену перем. х=t по ф-ле х=j(t), где j(t) – непрер. и дифф. ф-я на отрезке [a;b] причем j(a)=a, j(β)=b. Тогда имеет место след. рав-во:
∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)] * φ'(t) dt, здесь φ'(t) dt = dx
Док-во. Пусть F(x) – первообр. для ф-и f(x). Тогда можно записать: ∫ f(x)dx = F(x) + C ∫ f[φ(t)] * φ'(t) dt = F[φ(t)] + C
∫ f(x)dx =F(x) │= F(b)-F(a), ∫ f[φ(t)]*φ'(t)dt =F[φ(t)] │= F[j(β)] - F[j(a)]= F(b) - F(a)
Пр. часть 2-х посл. рав-в равны, значит, равны и левые. Что и требовалось доказать. Особенностью этой ф-лы явл то, что одновременно с заменой подыинт. выр-я заменяется соответ. образом и пределы инт-я. Интегрирование по частям. Рассмотрим рав-во. (u*v)' = u'v + v'u, где v,u - непрерывные фун-ии. Проинтегрируем по х от a до b:
∫ (u*v)dx = ∫ u'v dx + ∫ uv' dx
т.к. ∫ (u*v)'dx = uv + C, то ∫ (u*v)'dx = uv │, то получим
∫ u dv = uv│ - ∫ v du, здесь du = u' dx
Вычисление площади плоской фигуры. Пусть на отрезке [a;b] ф-я y = f(x) неотрицательна. Тогда Sкрив. трап., огран. этой кривой, осью
Q = ∫ f(x)dx
Если f(x)≤0, то -Q = ∫ f(x)dx, Q = - ∫ f(x)dx
Если ф-я - конечное число раз меняет знак на отр. [a;b], то инт-л по всему отр. разбиваем на сумму инт-лов по частичн. отрезкам. Он будет больше там, где f(x) >0, и меньше там, где f(x)<0. Для того, чтобы получить сумму площадей, надо найти или вычислить интеграл
Q = ∫ │f(x)│dx
Q = ∫ [ f2(x) - f1(x) ]dx Замечание.
двум интегралам. ∫ f(x)dx =2 ∫ f(x)dx, Q=2 ∫ xdx Пусть теперь кривая, огран. площадь, задана параметрически, т.е. в виде y = ψ(t), где α ≤ t ≤ β a = φ(α), b = φ(β) x = φ(t) Пусть это ур-е опред. некотр. ф-ю. y=f(x).
|