Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Интегралы вида ∫tgmx dx, ∫ctgmx dxДля нахождения этих интегралов примен. ф-лы, с пом. кот. помлед-но понижается степень m. tg2x = (1/cos2x) - 1, ctg2x = (1/sin2x) - 1 1/cosx = secx, 1/sinx = cosecx tg2x = sec2x - 1, ctg2x = cosec2x - 1 Замечание. Если m-степень частная, то удобно делать подст. tg x = t., тогда x = arctg t. dx = dt/ (1+t2) и интеграл сводится к интегралу от непр. рацион. дроби.
Интегралы вида ∫ sin mx * cos nx dx, ∫ cos mx * cos nx dx, ∫ sin mx * sin nx dx/ В этом случае примен. след. тригон. функции: sin mx * cos nx = ½ (sin (m+n) + sin (m-n)) cos mx * cos nx = ½ (cos (m+n) +cos (m-n)) sin mx * sin nx = ½ (cos (m-n) – cos (m+n)) Эти формулы дают нам произведение предс. в виде суммы. Интегрирование нек. иррациональностей. Интегралы вида ∫R (x, m√ax+b ) Такие интегралы наход. подстановкой ax+b = tm. Интегралы вида ∫ ((Mx+N)dx)/((x-α) √ax2+bx+c) x - α = 1/t dx = -1/t2 dt Тригонометрические подстановки. ∫R (x, √a2-x2) dx, ∫R (x, √a2+x2) dx Чтобы избавиться от корня и привести интегралы к рацион. тригон. виду, примен. подстановки. Подстановка для первого: x = a sint (x = a cost) Подстановка для второго: x = a tgt Если под знаком Ö содерж. кв. трехчлен, то выделяем полный квадрат. Существует ряд интегралов, не берущ. в элемент. ф-ях, т.е. для подынтг. ф-и нельзя найти первообразную: ∫(sinx/x) dx - интегральный синус ∫(cosx/x) dx - интегральный косинус ∫е-x^2 dx - интеграл вероятности ∫(lnx/x) dx и др. y = f(x) – непрерывна на отрезке [a;b]. аАВв – криволинейная трапеция. Вычислим площадь трапеции: Q -? Разобьем отр. [a;b] точками на частичный отрезки произ. образом. X0 = а, х1,х2…xn = b. Длину каждого их этих отрезков обозначим через Δxi=(i=1,2,…,n), Δx1=x1-xo, Δx2=x2-x1… Δxi=xi-xi-1 На каждом из частных отрезков построим прямоуг-ки с основаниями DXi с высотой f(ξi) ΔSi = Δxi * f(ξi), где i=1,2,…,n - площадь каждого из прямоугольников. Сумма всех площадей:
∑∆Si ≈ 0 = ∑ f(ξi) * ∆Si
Очевидно тем точнее, чем больше n (мелк. отрезков), т.е. сумма, стоящая слева этого рав-ва назыв. интегральной суммой на отрезке [а;b]. Значение этой суммы зависит как от способа деления отрезка [a,b] на частичные, так и от выбора точек x. Очевидно, точное значение искомой площади мы можем получить, если в рав-ве перейти к пределу при n®¥ или (DXi®0). Т. обр.
Q = ∫ f(x)dx Замечание. Опред. интеграл в отличие от неопред. есть число, зависящее от вида подыинтегр.ф-и, пределов интегр-я, не зависящее от обозн. переменной интегрир-я.
1. ∫ α * f(x)dx = α * ∫ f(x)dx
2. ∫ [ f1(x) ± f2(x) ± … ± fn(x) ] dx = ∫ f1(x)dx ± ∫ f2(x)dx ± … ± ∫ fn(x)dx
3. если на отрезке [a,b], (a≤b) φ(x) ≥ f(x), то ∫ φ(x)dx ≥ ∫ f(x)dx
m(b-a) £ ∫ f(x)dx £ M(b-a)
5. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке, то на этом отрезке найд. такая точка х=с, что быдет выполняться равенство:
∫ f(x)dx = f(c) - (b-a)
Эта ф-ла не может быть использвана для вычисления инт-ла из-за неопред. точки "с". 6. Для любых 3-х чисел a,b,c справедливо рав-в
∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx
7. Имеет место след. неравенство
│∫ f(x)dx│ ≤ ∫│f(x)│dx
Замечание: ∫ f(x)dx = 0, ∫ f(x)dx = - ∫ f(x)dx
Теорема 1. Производная от опред. интеграла по перем. верхнему пределу равна подынт. ф-и:
∫ f(t)dt = Φ'(x), что Ф'(x) = f(x)
|