Породжуючі поліноми циклічних кодів

Максимальний степінь	Породжуючі поліноми

Для формування дозволених кодових комбінацій за алгоритмом (прави­лом) (19.9) можна взяти будь-який породжуючий поліном, за умови, що його максимальний степінь дорівнює числу необхідних перевірних символів.

Проте утворена в такий спосіб кодова комбінація в явному вигляді не містить інформаційних символів (дістаємо нероздільний код, незручний для декодування), тому на практиці використовують інший метод кодування, що дає можливість утворити кодову комбінацію у вигляді розділених інформаційних і перевірних символів.

Правило кодування:

, (19.10)

де - остача від ділення на .

Згідно з алгоритмом (19.10) можна рекомендувати таку послідовність формування дозволених кодових комбінацій: 1) до комбінації первинного коду дописується праворуч нулів, що є еквівалентним мно­женню на ; 2) добуток ділиться на породжуючий полі­ном і знаходиться остача , максимальний степінь якої не переви­щує ; 3) вирахувана остача додається до .

Синдром циклічного коду. Для визначення синдрому циклічного коду досить поділити прийняту кодову комбінацію на породжуючий поліном. Остача від ділення і є синдромом. Якщо прийнята кодова комбінація дозво­лена, то остача буде нульовою. Ненульова остача свідчить про наявність у прийнятій комбінації помилок.

Взаємозалежність між синдромом (остачею) і помилковим символом знаходиться просто. Необхідно взяти будь-яку дозволену кодову комбінацію (краще нульову ), ввести помилку в заданий символ і виконати ділення на поліном . Обчислена остача і буде вказувати на помилку в цьому символі. Для циклічного коду (7,4) взаємозалежність між синдромом і помилковим символом для різних породжуючих поліномів наведена в табл. 19.3. За синдромом із цієї таблиці можна знайти місцезнаходження помилки і виправити її.

19.3. Взаємозалежність між синдромом і помилковим символом циклічного коду (7, 4)

Помилковий символ
Синдром при
Синдром при

Використання циклічних кодів. Циклічні коди досить прості в реаліза­ції. Всі наведені вище операції множення і ділення поліномів виконуються на регістрах зсуву. Крім того, ці коди мають високу коректуючу здатність. Можна сформувати циклічний код із будь-якою, раніше заданою, кількістю помилок, що виявляються або виправляються кодом, тому вони рекомендо­вані МККТТ для використання в апаратурі передачі даних. Так, згідно з Рекомендацією V. 41, у системах передачі даних зі зворотним зв'язком слід застосовувати циклічний код із породжуючим поліномом . Можна сказати, що в сучасній апаратурі з корекцією помилок використовую­ться, в основному, циклічні коди, проте перспективними є більш досконалі згорткові коди.

17.6. ЕФЕКТИВНІСТЬ ВИКОРИСТАННЯ КОРЕКТУЮЧИХ КОДІВ

Корисний ефект від використання коректуючих кодів полягає в змен­шенні ймовірності помилки декодування кодових комбінацій , під якою розуміють імовірність помилки кодової комбінації на виході декодера, яка в разі незалежних помилок символів розраховується за формулою

,

де - довжина кодової комбінації; - кратність виправлених помилок; число сполучень із по ; - імовірність помилки символу на вході декодера. Проте для досягнення цього корисного ефекту, по-перше, у ненадлишкові кодові комбінації вводять перевірні символи, що призводить до зменшення тривалості всіх символів кодової комбінації і, відповідно, розширення смуги частот сигналу та підвищення ймовірності помилки символів; по-друге, ускладнюють апаратуру.

Використання коректуючого коду буде технічно доцільним, якщо в резуль­таті його введення ймовірність помилки декодування кодової комбінації зменшиться, незважаючи на підвищення ймовірності помилок її символів.

Аналогічно використання коректуючого коду можна вважати економічно виправданим, якщо вартість підвищення якості зв'язку коректуючим кодом буде меншою за вартість досягнення цієї мети іншими засобами (підвищення потужності передавача чи КНД антени, використання більш завадостійкої модуляції тощо).

Загальною характеристикою використання коректуючих кодів у системі зв'язку є енергетичний виграш кодування (ЕВК), що показує різницю у відношенні сигнал-шум у каналі зв'язку без коректуючого коду і з ним у разі однакової ймовірності помилки декодування кодової комбінації. Позначаєть­ся ЕВК і розраховується теоретично чи вимірюється експериментальне; одиниця виміру - децибели. Наприклад, якщо в системі зв'язку без коректу­ючого коду для досягнення потрібне відношення сигнал-шум 12 дБ, а з коректуючим кодом 9,2 дБ, то ЕВК становить дБ. Якщо дБ, то такий коректуючий код підвищує якість зв'язку, і навпаки, при дБ якість зв'язку погіршується.

Розрахунками встановлено, що технічно і економічно використання ко­ректуючого коду доцільне, якщо ЕВК більший за 2 дБ. Такого значення ЕВК можна досягти у системах зв'язку, в яких імовірність помилки символу мало змінюється в разі зміни його тривалості (канали із завмираннями, мультиплікативними завадами типу переривань тощо), а також для коректуючих кодів із відносною швидкістю . Однак у сучасних системах зв'язку рекомендується використовувати коректуючі коди і з меншим теоре­тичним ЕВК, оскільки коректуючий код може забезпечити високу якість зв'язку за умов погіршання характеристик канапу (лінії зв'язку, антени, приймача, модема), через те що він виправляє додаткові помилки, які вини­кають у такому разі, і експериментальний ЕВК коду збільшується.