Плоская задача теории упругости в декартовых координатах

При решении плоской задачи можно использовать:

два дифференциальных уравнения равновесия (1) - уравнения Навье:

(1)

одно уравнение совместности деформаций в напряжениях (2):

(2)

где — дифференциальный оператор (гармонический оператор Лапласа),

три уравнения Коши (3), связывающих деформации и перемещения:

(3)

три уравнения закона Гука, связывающих деформации и напряжения. При плоском напряженном состоянии они имеют вид:

(4)^пнс

в случае плоской деформации:

(4)^пд

y Y n n s x a x t xy X n s y Рисунок 2

Решая систему из трех уравнений (1) и (2) с использованием статических граничных условий (5),

X _n = s _xl + t _xym,

Y _n = t _xyl + s _ym, (5)

связывающих внешние усилия с напряжениями внутри тела у поверхности (рисунок 2), можно вычислить напряжения (l = cosαи m = sinα в выражении (5) – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности тела).

Далее, по закону Гука (4) определяются деформации и, по соотношениям Коши, перемещения. Такой путь решения задачи принято называть – решение в напряжениях.

Если воспользоваться соотношениями Эри (6):

(6)

то решение плоской задачи можно свести к решению одного уравнения (7), которое называется бигармоническим уравнением совместности:

(7)

Соотношения Эри записаны в предположении, что внешними объемными силами пренебрегаем.

Замкнутого решения уравнения (7) не получено, хотя доказана единственность его решения. Поэтому при решении задачи прямым методом используют численные методы интегрирования: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов, вариационные методы. При решении плоской задачи обратным методом, в этом случае мы решением (функцией j(x, y) задаемся и проверяем каким граничным условиям оно соответствует, довольно часто используется решение в полиномах, когда функция напряжений j(x, y) принимается в виде алгебраического многочлена. Решение в полиномах используется при выполнении первой задачи.