Способы образования поверхностей

Существует два наиболее распространенных способа образования поверхностей: 1) при помощи движущейся линии; 2) при помощи движущейся поверхности. Рассмотрим указанные способы.

1. Пусть некоторая линия s (называемая образующей поверхности) непрерывно перемещается в пространстве, занимая последовательно положения s₁, s₂,..., s_i,..., s_n (рис.9.1). При движении линия может быть неизменной или непрерывно менять свою форму. Каждая точка A_j, принадлежащая линии s, при своем перемещении опишет некоторую траекторию t_j. Линии t, называются направляющими, так как их можно рассматривать как линии, по которым перемещается образующая s. Совокупность линий s_i и t_j образует каркас поверхности или сеть. Данный способ образования поверхностей называется кинематическим и является основным в начертательной геометрии. Он широко используется в технике. Например, так происходит формообразование поверхностей при обработке деталей на металлорежущих станках с линейным контактом режущего инструмента (резца, фрезы и т.п.) и заготовки. В этом случае поверхность детали несет на себе «отпечаток» профиля инструмента. Поверхности, образованные таким способом, называются кинематическими.

Рис.9.1

2. В этом случае некоторая поверхность F (называемая производящей поверхностью) перемещается в пространстве, занимая ряд последовательных положений F₁, F₂, …, F_n. Совокупность всех положений поверхности F определяет некоторую новую поверхность Φ, являющуюся огибающей этих поверхностей. Огибающая поверхность может касаться производящей поверхности по некоторой линии (например, ковш обычного или роторного экскаватора при рытье траншей, каналов, проходке тоннелей) или в точке (обработка некоторой выпуклой поверхности торцом сферической или пальцевой фрезы).

Кроме этих двух наиболее распространенных способов образования поверхностей в научных исследованиях по начертательной и прикладной геометрии применяются еще некоторые другие способы, такие, например, как способ конкурирующих поверхностей, способ мгновенных преобразований.

Суть способа конкурирующих поверхностей заключается в следующем. Пусть в пространстве заданы две конкурирующие поверхности, проекции которых на одну из плоскостей проекций совпадают всеми своими точками. Тогда две оставшиеся не совпавшие проекции (по одной от каждой поверхности) определяют новую поверхность. Этот способ является обобщением так называемых «ключевых» способов образования поверхности, когда искомая поверхность конструируется графически без применения аналитических расчетов.

Способ мгновенных преобразований, в отличие от предыдущего способа, является аналитическим. Он связан с заданием в пространстве некоторого преобразования Т, определяемого уравнениями:

х'=f₁(x,y,z,t)

у'=f₂(x,y,z,t)

z'= f₃ (х,у,z,t),

где t - переменный параметр.

Придавая параметру различные непрерывные значения, можно получить непрерывное множество преобразований T₁, T₂,..., T_j, зависящих от параметра t. Каждое отдельно взятое преобразование T_j, соответствующее значению параметра t_j, называется мгновенным преобразованием. Такое однопараметрическое множество размножает точку пространства в линию, линию пространства в поверхность, поэтому способ применяется для образования поверхностей. Совокупность аналитического выражения исходной образующей линии (если она задана математически) и преобразований дает уравнение непрерывного каркаса сконструированной поверхности (о каркасе поверхности более подробно ниже).