Конструирование валов и осей

Основными критериями работоспособности валов являются прочность и жёсткость. Валы испытывают действие напряжений изгиба и кручения, оси - только изгиба. Основными расчётными нагрузками являются крутящий момент Т _кр, который численно равен вращающему моменту, передаваемому на вал через установленную на нём деталь (зубчатое колесо, шкив, звёздочка, муфта), и изгибающий момент М _и.

При конструировании валов и осей применяют метод последовательных приближений, который включает следующие этапы:

- определение по простейшим эмпирическим зависимостям и рекомендациям предварительных значений диаметров ступеней вала и разработка эскиза вала;

- составление расчётной схемы, расчёт на статическую прочность и первичная коррекция конструкции вала;

- проверочный расчёт на усталостную прочность и уточнение конструкции вала;

- расчёты на жёсткость и виброустойчивость (при необходимости) и определение окончательной конструкции вала.

Первый этап. Простейшие эмпирические формулы - это зависимость диаметров ступеней вала от известных значений межосевого расстояния а_ω и максимального крутящего момента Т_max, определяемая с учётом эмпирических коэффициентов (то есть коэффициентов, полученных опытным путём). Например, для ступенчатых коробок передач с двумя степенями свободы достаточная жёсткость валов обеспечивается, если:

- диаметр первичного вала ;

- диаметр промежуточного и выходного валов d ≈ 0,45 а_ω.

При отсутствии надёжных эмпирических зависимостей и относительно небольшом влиянии изгиба используют условие прочности вала на кручение, так как известен лишь крутящий момент Т _кр (размеры вала по длине не определены, условие прочности на изгиб определить невозможно):

, , откуда , (12.1)

где - допускаемое напряжение на кручение ( = 12 … 20 МПа).

Предварительный эскиз вала составляют, исходя из кинематической схемы механизма, известных значений ширины деталей, устанавливаемых на вал, типа подшипников, длин концевых участков входного и выходного валов для соединения с двигателем и исполнительным механизмом.

Второй этап. Вращающийся вал представляют в виде балки на шарнирных опорах. Место расположения шарнирной опоры зависит от типа подшипника. При установке вала в радиальных шариковых или роликовых подшипниках точку шарнирной опоры располагают на середине ширины подшипника (рис. 133, а), при установке двух радиальных подшипников точку опоры располагают на расстоянии l /3 от заплечика вала (рис. 133, б). Это объясняется тем, что внутренний подшипник нагружен в бóльшей степени, чем установленный со стороны торца вала.

а) б)

Рис. 133. Расположение точки шарнирной опоры радиального подшипника

В опоре с радиально - упорным однорядным подшипником точка приложения шарнирной опоры расположена в точке пересечения оси вращения подшипника с нормалью, проведённой к середине контактной площадки тела качения с наружным кольцом (рис. 134, а). Для стандартных радиально - упорных однорядных шариковых и роликовых подшипников значения l_R оставляют табличные данные.

Условную шарнирную опору в подшипниках скольжения располагают на расстоянии (0,25 … 0,3) l от внутреннего торца подшипника (рис. 134, б).

а) б)

Рис. 134. Расположение точки шарнирной опоры:

а) - радиально - упорного однорядного шарикового и роликового подшипника; б) - подшипника скольжения

Нагрузки от зубчатых колёс, шкивов, звёздочек, и других установленных на валу деталей, передаются на валы и являются распределёнными по поверхности контакта вала и ступицы. В расчётных схемах эти распределённые нагрузки заменяют сосредоточенными эквивалентными силами, приложенными в середине ширины ступицы детали, а сечение вала в этом месте принимают за расчётное. Например, для промежуточного вала пятиступенчатой коробки передач автомобиля «ЗИЛ» расчётная схема будет иметь вид, представленный на рис. 135. Так как в зацеплении на промежуточном валу находятся только два зубчатых колеса (колесо 1 постоянного зацепления и одно из колёс 2 … 5 в зависимости от включаемой передачи), то в расчётной схеме указывают силы, действующие по вершинам двух зубчатых колёс (колесо 1 и например, колесо 4), и реакции опор А и В, действующие в трёх плоскостях.

Рис. 135. Расчётная схема промежуточного вала КПП «ЗИЛ»

при включении второй передачи

При основном расчёте вала на статическую прочность рассчитывают реакции опор в вертикальной и горизонтальной плоскостях, строят эпюры крутящих Т _кр и изгибающих М _и моментов (рис. 136). Результатом построения эпюр являются значения приведённых изгибающих моментов М _пр в расчётных сечениях вала.

Рис. 136. Схема к расчёту вала на статическую прочность:

М _верт и М _гор - изгибающий момент, действующий в вертикальной и горизонтальной плоскостях; Т _кр - крутящий момент; М _пр - приведённый изгибающий момент

На статическую прочность расчёт ведут по эквивалентным напряжениям. Так как основными напряжениями являются напряжения изгиба σ_и и кручения τ_кр, эквивалентные напряжения σ_экв определяют по формуле:

. (12.2)

Расчёт осей и валов на статическую прочность, работающих только на изгиб или кручение, рассчитывают соответственно на прочность при изгибе или на прочность при кручении:

, .

Определение диаметров в расчётных сечениях производят, исходя из условия статической прочности при изгибе, учитывающей приведённый изгибающий момент и эквивалентные напряжения:

, , откуда , (12.3)

где - допускаемое напряжение при изгибе.

Третий этап. Проверку на статическую прочность и сопротивление усталости можно проводить двумя способами - по допускаемым напряжениям или по запасу прочности.

Проверочный расчёт по допускаемым напряжениям проводят с учетом перегрузки, значение которой учитывают коэффициентом K _п:

. (12.4)

Ориентировочно коэффициент перегрузки K _п принимают равным перегрузке двигателя, то есть отношению максимального момента М_max двигателя к его номинальному моменту М _ном:

. (12.5)

Расчёт по допускаемым напряжениям на усталость проводят по зависимости:

. (12.6)

Осевой момент сопротивления сечения вала W _и определяют, учитывая действительную площадь сечения вала. Например, осевой момент W _и для сечения вала со шпоночным пазом определяют как разность осевого момента W_d сечения вала диаметром d и осевого момента W _ш сечения шпонки (прямоугольника со сторонами b и h, рис. 137, а). Формулы для расчёта осевых W _и и полярных W _к моментов сопротивления для различных форм сечения вала приведены в технической литературе.

а) б) в) г)

Рис. 137. Опасные сечения вала:

а) - шпоночная канавка; б) - поперечное отверстие;

в) - галтель; г) - кольцевая выточка

Проверочный расчёт по запасу прочности проводят для сечений, максимально нагруженных изгибающим и (или) крутящим моментом (рис. 136), и сечений, представляющих опасность с точки зрения концентрации напряжений (шпоночный паз, поперечное отверстие, переходные сечения в виде галтели или кольцевой канавки, шлицов, резьбы, прессовых посадок, рис. 137). Для каждого из установленных предположительно опасных сечений определяют коэффициент усталостной прочности s и сравнивают с допускаемым значением (запас усталостной прочности считают достаточным, если s > 1,5 … 2,5).

При действии в одном и том же сечении вала нескольких факторов концентрации напряжений (например, шлицы и кольцевая выточка), учитывают наиболее опасный из них. В случае, когда максимальный изгибающий и (или) крутящий момент и фактор концентрации напряжений расположены в разных местах, расчёт проводят для двух или более сечений.

Четвёртый этап. В случае превышения значений деформаций, возникающих вследствие действия изгибающих и крутящих моментов, проводят расчёт на жёсткость, который заключается в определении максимальных значений прогиба и угла закручивания вала. Для обеспечения жёсткости на изгиб вала необходимо, чтобы действительные максимальные значения прогиба y_max и угла наклона θ _max (тэта) поперечного сечения вала не превышали допускаемые (рис. 138):

, . (12.7)

Действительные значения прогиба и угла наклона вала определяют по соответствующим формулам сопротивления материалов.

Прогибы валов приводят к изменению межосевого расстояния, неравномерному распределению давления по длине контактных линий зубьев колёс и увеличению их износа. Углы поворота в опорах вала существенное влияние оказывают на работоспособность подшипников качения (особенно роликовых). Перекос вала в подшипниковых опорах вызывает искажение контакта тел качения с поверхностями колец, что приводит к увеличению неравномерности распределения нагрузки между телами качения в зоне контакта, повышенному износу и шуму.

Рис. 138. Схема деформации вала

Расчёт валов на жёсткость проводят только после расчёта на прочность при известных конструктивных параметрах вала. При небольшом расстоянии между опорами и достаточно большом диаметре вала деформация изгиба оказывает малое влияние на работу передач (в случае ремённых и цепных передач жёсткость валов и осей при изгибе, как правило, не определяют).

Расчёт на виброустойчивость проводят для быстроходных валов с установленными на нём неуравновешенными деталями. Колебания валов, вызванные действием внешних периодически изменяющихся нагрузок, могут совпасть по частоте с частотой возмущающей силы, то есть при работе вала существует вероятность возникновения резонанса. Соответствующие резонансу угловую скорость ω вала и частоту вращения n называют критическими. При совпадении частот собственных колебаний системы и частоты возмущающей силы существенно возрастает амплитуда колебаний, то есть возрастают деформации и напряжения в вале, которые будут определяться силами инерции колеблющихся масс.

Задача расчёта на виброустойчивость заключается в определении частот собственных колебаний валов с установленными на нём деталями. Для отсутствия резонанса угловая скорость оси вала при установившемся движении должна быть меньше или больше критической скорости.