Общие сведения. Уравнение Виллиса

Передачи, имеющие зубчатые колёса с перемещающимися геометрическими осями - сателлитами (от лат. «satellitum» - спутник), называют планетарными. Планетарные передачи предназначены для передачи вращательного движения цилиндрическими или коническими колёсами (реже - фрикционными). Планетарная передача (планетарный ряд) состоит из малого центрального колеса («солнечная» шестерня), которое находится в постоянном зацеплении с шестернями - сателлитами, которые в свою очередь находятся в постоянном зацеплении с большим центральным колесом, называемым эпициклом (рис. 37). Оси сателлитов закреплены на элементе передачи, называемом водилой. Центральное колесо, водило и эпицикл вращаются относительно одной общей оси, называемой основной осью, в то время, как сателлиты планетарной передачи вращаются относительно собственных осей и вместе с водилом относительно общей основной оси.

В планетарной передаче крутящий момент передаётся с помощью двух из трёх элементов (центрального колеса, эпицикла или водила) при одном неподвижном. В этом проявляется одно из главных преимуществ планетарного ряда - широкие кинематические возможности, которые позволяют получать большие передаточные числа без применения многоступенчатых передач. Для простейшего планетарного ряда (рис. 34) возможны шесть включений с различными передаточными отношениями, в зависимости от того, какой из элементов неподвижен.

Рис. 34. Схема простейшей планетарной передачи:

1 - центральное колесо; 2 - эпицикл; 3 - водило; 4 - сателлит

Основным параметром, определяющим свойства планетарного ряда, является внутреннее передаточное отношение u _1-2 частоты вращения центрального колеса ω ₁ к частоте вращения эпицикла ω ₂. Для этого всему планетарному механизму мысленно сообщают вращение с угловой скоростью, равной по направлению и значению угловой скорости ω ₃ водила 3 (приведённый планетарный механизм). В этом случае планетарный механизм представляет собой обычную зубчатую передачу с неподвижными осями, и внутреннее передаточное отношение u _1-2 будет равно:

, (4.1)

где (ω ₁ – ω ₃) и (ω ₂ – ω ₃) - угловые скорости центрального колеса 1 и эпицикла 2 относительно условно неподвижного водила 3;

z ₁ и z ₂ - числа зубьев центрального колеса 1 и эпицикла 2.

Уравнение (4.1) может быть записано в другом виде:

,

. (4.2)

Внутреннее передаточное отношение любого планетарного механизма - это отношение частоты вращения ω ₁ центрального колеса к частоте вращения ω ₂ эпицикла при остановленном водиле. В случае, если при передаче вращения центральное колесо и эпицикл вращаются в разные стороны, внутреннее передаточное отношение будет со знаком «–», если вращение происходит в одном направлении - со знаком «+».

Для схемы, изображённой на рис. 34, эпицикл, как правило, закреплён неподвижно. Тогда, согласно уравнению (4.1), передаточное отношение u _1-3 в направлении силового потока от центрального колеса 1 к водилу 3 будет равно:

ω ₂ = 0, , ,

.

Для передачи силового потока в направлении от водила 3 к центральному колесу 1 передаточное отношение u _3-1 будет равно:

.

Помимо широких кинематических возможностей (большие передаточные числа) планетарная передача обладает следующими преимуществами:

- компактность (единая ось вращения всех элементов передачи);

- возможность передачи бóльших крутящих моментов в сравнении с другими зубчатыми передачами, так как крутящий момент передаётся несколькими симметрично расположенными сателлитами, что позволяет значительно снизить контактные напряжения на поверхностях зубьев;

- расположение элементов планетарного ряда позволяет достаточно просто организовать управление работой ряда (имеется в виду оборудование ленточными тормозами и блокировочными муфтами);

- работа с мéньшим шумом, чем обычные зубчатые передачи (повышенная плавность внутреннего зацепления, меньшие размеры колёс, замыкание сил в механизме и передача меньших сил на корпус).

Основными недостатками планетарных передач являются:

- значительное снижение КПД передачи при увеличении передаточного отношения;

- высокие требования к точности изготовления и монтажа.

4.2. Определение чисел зубьев зубчатых колёс планетарного ряда

Вследствие особенностей планетарных механизмов числа зубьев колёс планетарного ряда определяют, исходя из условий соосности, сборки и соседства.

Условие соосности заключается в обеспечении соосности центрального колеса, эпицикла и водила. Исходя из геометрических соотношений планетарного ряда, изображённого на рис. 4.1, условие соосности:

, , откуда

. (4.3)

Из формулы (4.3) видно, что разность чисел зубьев эпицикла и центрального колеса должна быть кратна двум. Следовательно, числа зубьев z ₁ и z ₂ могут быть либо чётными, либо нечётными. Случай, когда центральное колесо и эпицикл имеют чётное и нечётное (или наоборот) число зубьев, невозможен.

Рис. 35. Схема к определению условия сборки планетарного механизма

Условие сборки определяет возможность нормального зацепления зубьев центрального колеса и эпицикла с зубьями сателлитов (так как при установке одного сателлита центральное колесо и эпицикл займут взаимно - фиксированное угловое положение, то при установке остальные сателлиты должны войти в правильное зацепление с центральным колесом и эпициклом).

Пусть при сборке простейшего планетарного механизма с одновенцовыми сателлитами, изображённого на рис. 35, эпицикл неподвижен. При установке одного сателлита центральное колесо займёт определённое положение. Для установки второго сателлита необходимо повернуть водило на некоторый угол φ _в, который будет равен отношению:

, (4.4)

где n _ст - количество сателлитов в механизме.

Второй сателлит В займёт такое же положение, какое до этого занимал сателлит А. Это означает, что взаимное расположение зубьев центрального колеса и эпицикла останется прежним, и центральное колесо должно повернуться на целое число зубьев, то есть на некоторый угол φ _цк, который будет равен:

, (4.5)

где K - любое целое число;

z ₁ - число зубьев центрального колеса.

Воспользуемся уравнением кинематической связи планетарного механизма при остановленном эпицикле:

, .

Так как и , то .

Подставив выражения для углов φ _цк и φ _в, получим:

, откуда . (4.6)

Таким образом, условие сборки простейшего планетарного механизма с одновенцовыми сателлитами заключается в том, что сумма чисел зубьев центрального колеса и эпицикла должна быть кратна числу сателлитов.

Рис. 36. Схема к определению условия соседства

Условие соседства исключает задевание зубьев сателлитов друг за друга. Рассмотрим два максимально сближенных сателлита (рис. 36). Из рисунка видно, что минимальное расстояние между центрами осей сателлитов О ₁ и О ₂ будет равно сумме двух половин делительных диаметров d _ст сателлитов и некоторого расстояния в 3 m, учитывающего высоту головки зуба равной m, и считая зазор между зубьями соседних сателлитов равным m:

. (4.7)

Исходя из геометрических построений:

,

, , = .

Учитывая, что d _ст = z ₄ m и d _цк = z ₁ m, получим:

≥ .

С учётом условия соосности (z ₂ – z ₁ = 2 z ₄, откуда ) окончательно получим:

. (4.8)

Типы планетарных механизмов

Планетарный механизм, состоящий из одного центрального колеса, одного водила и одного эпицикла, называют планетарным рядом. Планетарный ряд (механизм), все три основных звена (малое центральное колесо, эпицикл и водило) которого подвижны, называют дифференциалом.

Рис. 37. Схема дифференциального механизма автомобиля:

1 - центральное колесо; 2 - водило; 3 - сателлит

Дифференциал автомобиля является наиболее известным планетарным рядом (рис. 37). Отличительной чертой дифференциала является то, что он имеет центральные колёса одинакового размера, поэтому внутреннее передаточное отношение этого механизма равно единице. При остановке водила центральные колёса вращаются в разные стороны, поэтому передаточное отношение будет со знаком «–» (u _1-1 = –1).

а) б) в)

г) д)

Рис. 38. Схемы планетарных рядов:

а), б), в) - с положительным передаточным отношением;

г), д) - с отрицательным передаточным отношением;

1 - малое центральное колесо; 2 - эпицикл; 3 - водило; 4 - одновенцовые сателлиты; 5 - двухвенцовые сателлиты

В агрегатах мобильных машин наибольшее распространение получили так называемые плоские или простые планетарные механизмы, то есть такие, в которых все звенья вращаются в одной или параллельных плоскостях, а оси всех звеньев совпадают или параллельны друг другу и главной оси симметрии всего механизма. Плоские планетарные механизмы выполняют с одновенцовыми сателлитами (рис. 38, г), с двухвенцовыми сателлитами (рис. 38, а, в, д) и с парными сателлитами (рис. 38, б).

Если остановить водило любого планетарного механизма, то он предстанет в виде зубчатого механизма с неподвижными осями всех зубчатых колёс.

Сложные планетарные механизмы получают на основе простых путём добавления основных звеньев - солнечных колёс или эпицикла.

Свойства планетарного механизма

Свойства планетарного механизма определяют, исходя из величины внутреннего передаточного отношения, значение которого постоянно, и общего уравнения кинематической связи (4.2):

- свойство блокировки планетарного ряда: если угловые скорости двух основных звеньев планетарного ряда равны, то и угловая скорость третьего звена будет равна угловой скорости этих двух звеньев.

Пусть ω ₁ = ω ₃, тогда:

,

,

, и .

Если установить блокировочную муфту между любыми двумя основными звеньями планетарного ряда (например, между малым центральным колесом и эпициклом, рис. 39), то при её включении планетарный ряд будет заблокирован и его внутреннее передаточное отношение будет равно единице.

Рис. 39. Схема планетарного ряда с блокировочной муфтой:

1 - малое центральное колесо; 2 - эпицикл; 3 – водило;

4 - сателлит; 5 - блокировочная муфта

- свойство работать в режиме понижающей (в режиме редуктора) или повышающей (в режиме мультипликатора) передачи: в зависимости от выбора одного основного звена в качестве ведущего, второго - в качестве ведомого при неподвижном третьем основном звене, планетарный ряд может работать как с повышением крутящего момента, так и с понижением.

Рассмотрим это свойство на примере простейшего планетарного ряда.

На основании уравнения (4.3) можно записать уравнение кинематической связи в общем виде:

, или , (4.9)

где p, q, r - обозначения основных звеньев.

а) б) в)

Рис. 40. Схема простейшего планетарного ряда с различным включением:

а) - при неподвижном эпицикле; б) - при неподвижном малом центральном колесе; в) - при неподвижном водиле;

1 - малое центральное колесо; 2 - эпицикл; 3 - водило; 4 - сателлит

Если необходимо составить уравнение кинематической связи в направлении силового потока, например, от водила 3 к малому центральному колесу 1 (рис. 40, а), то, согласно уравнению (4.9), u_pq → u _3-1, p → 3, q → 1, значит, r → 2. В этом случае уравнение кинематической связи примет вид:

, , .

Так как ω ₁ > ω ₃, и u _3-1 < 1, то передача - повышающая. При направлении силового потока в противоположном направлении, от малого центрального колеса 1 к водилу 3, передача будет понижающей:

, , .

Различные варианты включения простейшего планетарного ряда и получаемый при этом тип передачи приведены в табл. 1;

Табл. 1

Варианты включения простейшего планетарного ряда

- свойство реверсивности: свойство планетарного ряда изменять направление вращения выходного звена в зависимости от останова того или иного основного звена. Например, при неподвижном эпицикле 2 (рис. 40, а) направления вращения малого центрального колеса 1 и водила 3 будут совпадать, а при неподвижном водиле 2 (рис. 40, в) будут направлены в противоположные стороны.

Порядок определения передаточных чисел планетарных передач

Планетарные передачи широко используют в автоматических коробках перемены передач автомобиля. Передаточные отношения одного планетарного ряда не позволяют оптимально использовать крутящий момент двигателя, поэтому отдельные планетарные ряды соединяют в один планетарный механизм. Существует несколько вариантов соединения планетарных рядов, каждое из которых носит название по имени своего изобретателя (планетарный механизм Симпсона, планетарный ряд Равиньё, коробка передач Уилсона, планетарная передача Лепелетье). Для определения передаточного отношения планетарного механизма необходимо:

- пронумеровать планетарные ряды, входящие в механизм (рис. 41);

Рис. 41. Структурная схема планетарного механизма

- при наложении связи (включении одного из тормозов Т ₁, Т ₂ … Т_n) выявляют нагруженные ряды, участвующие в передаче крутящего момента;

- составляют уравнение кинематической связи и определяют передаточное отношение механизма.

Планетарный механизм Симпсона (рис. 42) состоит из двух понижающих планетарных рядов (редукторов), который часто называют двойным рядом. Особенностью механизма является объединённые в одно звено малые центральные колёса 1 этих двух планетарных рядов. Эпицикл 2.1 первого планетарного ряда и общие малые центральные колёса могут через две блокировочные муфты 5.1 и 5.2 жёстко соединяться с ведущим валом. Водило 3.2 второго планетарного ряда оборудовано тормозом Т ₂. Ведомое звено входит в оба планетарных ряда – в первый в качестве водила 3.1, а во второй – в качестве эпицикла 2.2. Схема Симпсона позволяет реализовать следующие режимы:

- нейтраль;

- две понижающие передачи (1-ая и 2-ая передачи);

- прямую передачу (3-тья передача);

- задний ход.

Рис. 42. Схема планетарного механизма Симпсона:

1 - малые центральные колёса; 2.1 и 2.2 - эпицикл; 3.1 и 3.2 - водило; 4.1 и 4.2 - сателлиты; 5.1 и 5.2 - блокировочная муфта; 6 - обгонная муфта

Рассмотрим последовательность определения передаточного отношения планетарного механизма Симпсона при включении, например, первой передачи.

Рис. 43. Схема включения 1-ой передачи

При включении 1-ой передачи (рис. 43):

- с помощью блокировочной муфты 5.2 ведущим звеном будет эпицикл 2.1, который приводит во вращение в том же направлении сателлит 4.1;

- сателлит 4.1 приводит во вращение в противоположном направлении сдвоенное малое центральное колесо 1;

- сдвоенное малое центральное колесо 1 приводит во вращение сателлит 4.2, который при остановленном с помощью тормоза Т ₂ водиле 3.2 приводит во вращение эпицикл 2.2;

- водило 3.1 и эпицикл 2.2, которые являются ведомыми звеньями, вращаются в ту же сторону, что и ведомое звено – эпицикл 2.1.

Для определения передаточного отношения механизма при включении 1-ой передачи составим уравнение кинематических связей (4.9) для двух планетарных рядов (работают два ряда при остановленном водиле 3. 2 с помощью блокировочной муфты 7):

- уравнение первого ряда

; (3.4)

- уравнение второго ряда

,

,

. (3.5)

Угловые скорости водила 3. 1 и эпицикла 2. 2 одинаковы: . Тогда с учётом (3.5) уравнение (3.4) примет вид:

,

,

.

После несложного преобразования уравнение примет вид:

.

Передаточное отношение механизма U - это отношение угловых скоростей ведущего и ведомого звеньев:

,

, .