Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Хаотичность теплового движения частиц газа означает, что ни одно их направлений их движения не является преимущественным. Соударения между частицами приводит к тому, что скорость их движения непрерывно изменяется по модулю и направлению.

Движение каждой частицы может быть описано законами механики. Но число частиц в газе очень велико и силы, действующие между ними таковы, что описать свойства совокупности частиц невозможно.

В таких случаях для исследования применяется статистический метод. С помощью особого математического аппарата теории вероятностей вычисляются физические величины, характеризующие движение всех частиц (средняя скорость, средняя энергия).

Основное уравнение кинетической теории газов устанавливает зависимость между давлением газа р, его объемом V и кинетической энергией поступательного движения его частиц Eк

, (6)

где – суммарная кинетическая энергия поступательного движения N одинаковых частиц газа, находящихся в объеме V.

m – масса частицы;

Vi – скорость частицы.

Введем среднюю квадратичную скорость

, (7)

где – средний квадрат скорости частиц.

( – не путать с квадратом средней скорости).

, (8)

где – масса газа,

тогда

. (9)

Откуда можно выразить давление газа

, (10)

, (11)

если , то

, (12)

где r = m × n – плотность газа;

n = N/V – концентрация – число частиц газа в единичном объеме.

Для одного моля газа уравнение (9) будет иметь вид

, (13)

где – число Авогадро.

Так как – средняя кинетическая энергия хаотичного теплового движения молекул, то

. (14)

Сравним уравнение (14) с уравнением Менделеева-Клайперона

. (15)

Приравняем их правые части

, (16)

выразим `Е

, (17)

где , Дж/К – постоянная Больцмана.

Формула (17) дает физический смысл термодинамической температуры.

Термодинамическая температура является мерой кинетической энергии теплового хаотического движения частиц идеального газа.

Среднюю кинетическую энергию, и с дополнительными оговорками.

По школьному молекулярно-кинетическому определению температуры E = nT, где n - количество степеней свободы молекулы.

Т. к. в системе СИ для этой формулы единицы измерения слева и справа по историческим причинам разные, то пришлось измерить и ввести константу, переводящую одно в другое. Эта константа называется половиной постоянной Больцмана k/2, в системе СИ формула имеет вид:
E = n * (k/2) * T
Половинка - это чтобы другие уравнения было удобно записывать. Проще в этой формуле поделить пополам, чем делить пополам что-то в других формулах.

PS. Если нужно проверить правильность доказательства - посмотрите определение температуры и постоянной Больцмана в учебнике, доказательство зависит от определений, а корректность самих определений следует из равномерности распределения энергии по степеням свободы. Я не знаю, на каком уровне нужно провести док-во, если делать все по-честному, то нужно сначала распределение Максвелла изучить.