Динамика вращательного движения

1.

Физика – наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи, а также законы ее движения.

Фундаментальные физические законы лежат в основе химических и биологических закономерностей.

Физические методы исследования:наблюдение,эксперимент, выдвижение гипотез.

Наблюдение – изучение явлений в естественной, природной обстановке. Научное наблюдение представляет собой далеко не простую задачу, так как требует умения совместно сгруппировать ряд родственных явлений, отметив их характерные черты сходства и различия, выяснения факторов, от которых зависит изучаемое явление, и установление влияния каждого фактора в отдельности при сохранении неизменными всех остальных.

Эксперимент – изучение явления путем его воспроизведения в искусственной (лабораторной) обстановке, т.е. наблюдение исследуемых явление в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом процессов и многократно воспроизводить их при повторении этих условий.

Гипотеза – научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо явления и требующее проверки на опыте и теоретического обоснования для того, чтобы стать достоверным научным фактом.

При исследовании явлений или процессов в зависимости от условий конкретной задачи используют различные физические модели. Это позволяет рассмотреть физическое явление таким образом, чтобы можно было абстрагироваться от целого ряда реальных факторов, являющихся второстепенными для конкретного случая.

К физическим моделям относятся следующие:

- материальная точка – точка, характеризующаяся только массой и положением в пространстве. Приближением материальной точки может быть любое тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данных условиях (то есть размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с масштабами движения);

- абсолютно твердое тело – тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным;

- абсолютно упругое тело – тело, деформации которого пропорциональны вызывающим их силам, после прекращения действия сил такое тело полностью восстанавливает свои размеры и форму.

В результате обобщения экспериментальных фактов устанавливаются физические законы – устойчиво повторяющиеся объективные закономерности, существующие в природе. Физические законы выражаются в виде математических соотношений между физическими величинами – измеряемыми характеристиками физических объектов и параметрами процессов.

Физические величины разделяются на:

- скалярные – полностью характеризуются численным значением и единицей измерения. Например: время , масса . В расчетах скалярные величины выражаются действительными числами и с ними можно производить все без исключения действия, которые выполняются с действительными числами;

- векторные – полностью характеризуются численным значением, единицей измерения и направлением. Например: скорость , сила . Векторная величина геометрически изображается вектором, т.е. отрезком, имеющим определенные направление и длину. Математические операции над векторными величинами подчиняются особым закономерностям.

Измерение физической величины – это действие, выполняемое с помощью средств измерений для нахождения значения физической величины в принятых единицах. В принципе единицы физических величин можно выбрать произвольно, но тогда возникнут трудности при их сравнении. Поэтому вводятся системы единиц, охватывающие единицы всех физических величин и позволяющие оперировать с ними.

Для построения системы единиц произвольно выбирают единицы для нескольких не зависящих друг от друга физических величин. Эти единицы называются основными. Остальные величины и их единицы выводятся из законов, связывающих эти величины с основными. Они называются производными величинами. В России согласно государственному стандарту обязательна к применению Международная система единиц SI (система СИ). Она базируется на семи основных единицах и двух дополнительных – радиан и стерадиан (табл. 1).

Таблица 1.1

2.

Механика - раздел физики, в котором изучается механическое движение.

Механическое движение - любое изменение взаимного положения материальных тел, происходящее в пространстве с течением времени. Например, перемещения транспортных средств, деталей машин, а так же органов человека и животных.

Кинематика - раздел механики, в котором изучают движения тел, не исследуя причин, вызывающих эти движения.

Описать движение тела - значит задать его положения в пространстве в разные моменты времени в выбранной системе отсчета.

Система отсчета – совокупность тела отсчета (неподвижное тело), координатных осей и часов.

В декартовой системе координат положение материальной точки в данный момент времени по отношению к этой системе определяется тремя координатами или радиус-вектором - вектором, соединяющим начало координат и положение точки в данный момент времени.

Рисунок 1.1 Определение положения тела в пространстве для случая движения на плоскости

Траектория - линия, по которой движется тело.

Путь – скалярная физическая величина, численно равная расстоянию, пройденному точкой по траектории.

Перемещение - отрезок, соединяющий начальную и конечную точки траектории .

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется тремя уравнениями:

или векторным уравнением .

Перемещение тела будет определяться следующим образом:

1) координатный способ ;

Рисунок 1.2 Определение перемещения тела методом координат

2) векторный способ .

Рисунок 1.3 Определение перемещения тела векторным способом

Исключая время из уравнений движения, получим уравнение траектории движения материальной точки: .

По форме траектории механические движения классифицируются на прямолинейные и криволинейные. Траектория данного механического движения в различных системах отсчета может иметь разную форму.

3.

Поступательное движение - такое движение тела, при котором любая прямая, соединяющая две любые его точки, остается параллельной самой себе. При таком движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям.

Скорость характеризует быстроту и направление перемещения материальной точки.

Рассмотрим движение материальной точки, перемещающейся по прямолинейному участку. Пусть в момент времени координата материальной точки будет , а в момент времени координата будет . Тогда за промежуток времени путь точки будет .

Средняя путевая скорость - скалярная физическая величина, численно равная отношению пути, совершенным материальной точкой к промежутку времени , за который этот путь был пройден

. (1.1)

Средняя скорость неравномерного движения - векторная физическая величина, модуль которой численно равен отношению изменения радиус-вектора к промежутку времени :

.

Единица измерения скорости в СИ м/с.

Направление вектора совпадает с направлением вектора .

Если движение равномерное, то средняя скорость одна и та же при любом промежутке времени. Однако при неравномерном движении тело за одинаковые промежутки времени проходит неодинаковые расстояния. Следовательно, при таком движении величина средней скорости зависит от выбора промежутка времени. Для определения мгновенной скорости в данной точке траектории необходимо выбрать промежуток времени настолько малым, чтобы движение тела в течение этого промежутка времени можно было считать равномерным.

Мгновенная скорость неравномерного движения – векторная физическая величина, модуль которой численно равен пределу, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени, за который она определяется:

. (1.2)

Таким образом, мгновенная скорость есть первая производная перемещения (или координаты) по времени.

Путь, пройденный телом за время dt, будет равен . Для определения всего пути, пройденного за время t, это выражение надо проинтегрировать:

. (1.3)

Ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

Среднее ускорение – векторная физическая величина, модуль которой численно равен отношению изменения скорости к промежутку времени

. (1.4)

Единица измерения ускорения в СИ – м/с ² .

Направление вектора совпадает с направлением вектора при ускоренном движении и противоположно ему при движении замедленном.

Мгновенное ускорение – векторная физическая величина, модуль которой численно равен пределу, к которому стремится среднее ускорение при бесконечном уменьшении промежутка времени, за который оно определяется:

. (1.5)

Таким образом, мгновенное ускорение есть первая производная скорости по времени или вторая производная перемещения по времени.

В случае неравномерного прямолинейного движения скорость материальной точки определяется по формуле

. (1.6)

Если материальная точка движется по криволинейной траектории, то ее скорость изменяется не только по величине, но и по направлению и в любой момент времени направлена по касательной к траектории.

Рисунок 1.4 Направление мгновенной скорости при криволинейном движении

Вектор ускорения параллелен вектору изменения скорости и может составлять с вектором скорости произвольный угол. Тогда вектор ускорения можно разложить на две составляющие, направленные по касательной и перпендикулярно к вектору скорости.

Рисунок 1.5 Составляющие ускорения при криволинейном движении

1) тангенциальное ускорение – характеризует изменение скорости по величине, совпадает по направлению с вектором скорости и определяется по формуле ;

2) нормальное ускорение – характеризует изменение скорости по направлению, перпендикулярно вектору скорости

, (1.7)

где R – радиус кривизны траектории.

Полное ускорение определяется по формуле

. (1.8)

4.1

Вращательное движение твердого тела - такое движение, при котором все его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях, если центры окружностей находятся на одной прямой, называемой осью вращения.

Правило буравчика: если ручку буравчика вращать по направлению движения материальной точки по окружности, то поступательное движение буравчика совпадет с направлением углового перемещения.

Псевдовектор – вектор, направленный перпендикулярно плоскости, по которой перемещается материальная точка.

Рисунок 1.6 Применение правила буравчика

Если материальная точка движется по окружности, то с течением времени радиус-вектор (отрезок, соединяющий центр окружности и материальную точку в каждый момент времени) поворачивается на угол . Модуль вектора равен углу поворота , выраженный в радианах, а направление данного вектора определяется по правилу буравчика.

Рисунок 1.7 Движение точки по окружности

Средняя угловая скорость – псевдовекторная физическая величина, модуль которой численно равен отношению угла поворота радиус-вектора к промежутку времени, за который этот поворот был совершен:

. (1.9)

Единицы измерения угловой скорости рад/с.

Мгновенная угловая скорость неравномерного движения – псевдовекторная физическая величина, модуль которой равен пределу, к которому стремится средняя угловая скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени, за который она определяется:

. (1.10)

Таким образом, мгновенная угловая скорость есть первая производная углового перемещения по времени.

Рисунок 1.8 Линейная и угловая скорости материальной точки

Угловое перемещение, совершенное телом за время dt, будет равно . Для определения всего пути, пройденного за время t, это выражение надо проинтегрировать:

. (1.11)

Если материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью, то используются дополнительные характеристики движения: период, частота, циклическая частота.

Период – время, за которое тело совершает один полный оборот.

Частота – число оборотов в единицу времени.

(1.12)

Циклическая частота – число оборотов, совершенных за секунды.

(1.13)

Среднее угловое ускорение – псевдовекторная физическая величина, модуль которой равен отношению изменения угловой скорости к промежутку времени :

. (1.14)

Единица измерения ускорения в СИ – рад/с ² .

Мгновенное угловое ускорение – псевдовекторная физическая величина, модуль которой равен пределу, к которому стремится среднее угловое ускорение при бесконечном уменьшении промежутка времени, за который оно определяется:

. (1.15)

Таким образом, мгновенное угловое ускорение равно первой производной угловой скорости по времени или второй производной углового перемещения по времени.

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора угловой скорости (рис. 1.9); при ускоренном движении (рис. 1.9а) вектор направлен в ту же сторону, что и , и в противоположную сторону (рис. 1.9б) при замедленном вращении

а б

Рисунок 1.9 – Направление вектора углового ускорения: а) при ускоренном вращении; б) при замедленном вращении

5.

Выведем формулы связи линейных и угловых величин.

Дуга окружности связана с радиусом этой окружности соотношением

. (1.16)

Возьмем первую производную уравнения (1.16): . Радиус окружности для окружности является величиной, имеющей постоянное значение. Постоянную можно выносить за знак производной. Получим: . Слева от знака равенства стоит первая производная пути по времени, то есть скорость. Справа от знака равенства стоит первая производная углового перемещения по времени, то есть угловая скорость. Таким образом получим, что линейная и угловая скорости связаны соотношением

(1.17)

Возьмем первую производную уравнения (1.17): . Радиус окружности для окружности является величиной, имеющей постоянное значение. Постоянную можно выносить за знак производной. Получим: . Слева от знака равенства стоит первая производная скорости по времени, то есть ускорение. Справа от знака равенства стоит первая производная угловой скорости по времени, то есть угловое ускорение. Таким образом получим, что тангенциальное ускорение связано с угловым соотношением

. (1.18)

Запишем формулу нормальной составляющей ускорения при криволинейном движении (1.7) . Скорость заменим соотношением (1.17) , получим .

Проведем сокращение и получим, что нормальное ускорение связано с угловой скоростью соотношением

(1.19)

Физические модели; материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело, сплошная среда. Физика, изучая реальные объекты, абстрагируется от тех или иных свойств объекта и учитывает только те наиболее важные черты, которые существенные для данной задачи. Т.о. возникают физические модели, т.е. идеализированные объекты, которые изучаются с точки зрения решения конкретных физических задач. Существуют следующие физические модели: Материальная точка. Система материальных точек. Абсолютно твердое тело. Сплошная среда. Простейшая модель – это материальная точка – которой называется любое тело, размерами которого можно пренебречь. Очень многие физические величины являются аддитивными (суммирование), поэтому можно рассматривать тела, которые не являются материальными точками, как системы материальных точек. Тогда, записав для каждой точки выражения для аддитивной величины можно эти выражения сложить и получить. Системы материальных точек могут образовывать 2 вида моделей: абсолютно твердое тело, сплошная среда. Абсолютно твердое тело – такая система материальных точек, в которой расстояние между материальными точками не изменяется, т.е. тело не деформируется ни при каких условиях. Сплошная среда – это такая система материальных точек, в которой расстояние между двумя точками пренебрежительно мало. Пространство и время. Кинематическое описание движения, элементы векторной алгебры Определение фундаментальных понятий, одна из наиболее сложных задач любой науки. Это в полной мере касается понятия пространства. Древние Греки под пространством понимали вместилище всех вещей. В современные физике понятие пространства является более общим в том смысле, что свойства пространства могут меняться в Alex's Brother Makes Her His Slut Over and Over зависимости от тех или иных физических процессов, более того некоторые физические явления рассматривают как проявление тех или иных свойств в пространстве (гравитация). С точки зрения механики, пространство представляет собой то вместилище, в котором описываются положения объектов. Положение тела или точки в пространстве можно задать с помощью координат. Для этого вводятся системы координат. Система координат – когда выбрано тело отсчета и через какую-нибудь его точку проводят оси координат и положение любой точки в пространстве описывают ее координатами. Положение тела или точки можно задать относительно какого-нибудь другого тела, которое называется телом отсчета. Системы координат бывают различными: прямоугольные и косоугольные, полярные, сферические и другие. Наиболее часто используется декартова система координат. Это прямоугольная система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных осей, распределенных в пространстве определенным образом. Развитие тех или иных процессов в физике происходит с течением времени, т.е. время играет роль параметра (переменной), от которой могут зависеть те или иные физические величины. С точки зрения современной физики и само время может зависеть от тех или иных физических процессов (релятивистская физика). Т.о. мы подошли к тому, чтобы сформулировать основную задачу механики, т.е. ту задачу, которая решается всеми тремя разделами механики. Эта задача состоит в том, чтобы знать положение тела или точки в любой момент времени, или знать зависимость от времени координат тела или точки. Такая зависимость называется кинематическим законом движения, она может быть записана в виде: ìx=f1(t) íy=f2(t) Координатный способ записи. (1.1) îz=f3(t) или в виде: Векторная форма записи. (1.2) - радиус-вектор данной точки. Можно показать, что эти две формы записи представления кинематического закона движения взаимосвязаны. Для этого необходимо знать, что такое радиус-вектор и как он выражается через координаты. Радиус-вектор точки – это вектор, проведенный из начала координат в данную точку.. Через каждую точку пространства можно провести радиус-вектор. - эта формула описывает движение конца вектора в пространстве.. Физический смысл - координаты изменяются со временем. Механическое движение описывается при помощи ряда основных кинематических понятий и величин: траектория, путь, перемещение, скорость, ускорение. Траектория – линия, которую описывает конец радиус-вектора. Перемещение тела (материальной точки) - направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение с его последующим движением. Скоростью равномерного прямолинейного движения называют постоянную векторную величину, равную отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка., или Скорость – величина, измеряемая длиной пути, проходимого в единицу времени. Ускорение – величина, численно равная изменению скорости в единицу времени. Путь – длина линии, пройденной за время Dt. Скорость и ускорение при криволинейном движении. Нормальное и касательное ускорение

1. Предмет изучения динамики. Законы Ньютона и область их применимости

Динамика занимается изучением механического движения тел совместно с причинами, вызывающими это движение. Основными понятиями в динамике являются понятие силы и понятие массы. Динамика материальной точки базируется на трёх основных законах – законах Ньютона. Законы Ньютона являются обобщением большого количества опытных данных. Механику, основанную на законах Ньютона, называют классической механикой, которая рассматривает движение тел со скоростями, много меньше скорости света (). Основная задача динамики состоит в том, чтобы найти законы движения тела, зная приложенные к нему силы, или, наоборот, по известным законам движения определить силы, действующие на тело.
2. Первый закон Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта

Всякому телу свойственно сохранять состояние равномерного прямолинейного движения или покоя, пока и поскольку другие тела не вынудят его изменить это состояние. Указанное свойство тел называется инерцией, инертностью. Первый закон выполняется не во всех системах отсчета, а только в инерциальных. Так что, по существу, первый закон постулирует существование инерциальных систем отсчёта, то есть таких, где выполняется закон инерции. По этому закону, существует хотя бы одна инерциальная система отсчёта, а следовательно, их бесконечное число: любая система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной с постоянной скоростью (), также является инерциальной. Неинерциальных систем отсчёта тоже бесконечно много: это – любая, движущаяся ускоренно относительно какой-либо инерциальной.

3. Второй закон Ньютона. Импульс тела, импульс силы

В результате взаимодействия с другими телами тело может получить ускорение . Одинаковое по величине воздействие разным телам сообщает разные ускорения: чем больше инертность тела, тем меньше ускорение. Количественной мерой инертности тела является масса . Размерность массы в системе единиц СИ – .

Сила – количественная мера воздействия одного тела на другое. Она характеризуется величиной, направлением и точкой приложения. Сила – вектор: . Размерность силы – ньютон: . Формулировка второго закона Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально массе тела

. (2.1)

Напоминаем, что это – закон, полученный при обобщении опытных данных; он не доказывается. В числителе стоит равнодействующая всех сил, приложенных к телу, то есть их векторная сумма: ; – её действие эквивалентно совместному действию всех реально приложенных к телу сил.

По определению (см.лекцию 1) ускорение тела , тогда:

.

Интегрируем последнее равенство:

. (2.2)

Это – второй закон Ньютона в импульсной форме: изменение импульса тела равно импульсу действовавшей на тело силы. Напоминаем, что произведение силы на промежуток времени, в течение которого она действовала, называется импульсом силы:

, (2.3)

а произведение массы тела на его скорость – импульсом тела:

. (2.4)

Второй закон Ньютона в виде (2.1) выполняется только при скоростях, много меньше скорости света; а в импульсной форме (2.5) его можно применять и при скоростях, сравнимых со скоростью света:

. (2.5)
4. Третий закон Ньютона

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны. Из этого закона следует, что силы всегда появляются парами: если существует сила , действующая на тело 1 со стороны тела 2, что и тело 1 действует на тело 2 с силой , равной по величине и противоположной по направлению:

. (2.6)

Природа этих сил одинакова.

Эти силы не могут компенсировать друг друга, так как приложены к разным телам. В заключение рассмотрения законов Ньютона нужно подчеркнуть, что первый закон Ньютона устанавливает (постулирует) существование инерциальных систем отсчёта, а второй и третий законы Ньютона выполняются именно в таких (инерциальных) системах отсчёта.
5. Принцип относительности Галилея

Галилей первым стал изучать детально движение тел в инерциальных системах отсчёта. Он полагал, что время абсолютно, то есть одинаково во всех системах отсчёта:

,

где – время в инерциальной системе , а – время в инерциальной системе , которая движется относительно системы отсчёта со скоростью .

По закону сложения скоростей (см. лекцию 1) скорость тела в системе равна:

,

где – скорость тела в системе отсчёта .

Ускорение тела в системе определяется равенством:

Но поскольку , то , и

.

Таким образом, ускорение тела в обеих инерциальных системах отсчёта одинаково, а значит, характер движения тела будет одним и тем же. На основании этого Галилей сформулировал вывод, который стали называть принципом относительности Галилея: законы механики не зависят от того, к какой инерциальной системе отсчёта они относятся. Иными словами, все инерциальные системы отсчёта для любых механических явления равноправны.

Уравнения движения, записанные по второму закону Ньютона, тоже одинаковы:

.

Зако́н сохране́ния эне́ргии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системыможет быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.

С фундаментальной точки зрения, согласно теореме Нётер, закон сохранения энергии является следствием однородности времени, то есть независимостью законов физики от момента времени, в который рассматривается система. В этом смысле закон сохранения энергии является универсальным, то есть присущим системам самой разной физической природы. При этом выполнение этого закона сохранения в каждой конкретно взятой системе обосновывается подчинением этой системы своим специфическим законам динамики, вообще говоря различающимся для разных систем.

В различных разделах физики по историческим причинам закон сохранения энергии формулировался независимо, в связи с чем были введены различные виды энергии. Говорят, что возможен переход энергии одного типа в другой, но полная энергия системы, равная сумме отдельных видов энергий, сохраняется. Ввиду условности деления энергии на различные виды, такое деление не всегда может быть произведено однозначно.

Для каждого вида энергии закон сохранения может иметь свою, отличающуюся от универсальной, формулировку. Например, в классической механике был сформулирован закон сохранения механической энергии, в термодинамике — первое начало термодинамики, а в электродинамике — теорема Пойнтинга.

С математической точки зрения закон сохранения энергии эквивалентен утверждению, что система дифференциальных уравнений, описывающая динамику данной физической системы, обладает первым интегралом движения, связанным с симметричностью уравнений относительно сдвига во времени.

Законы сохранения импульса и полной механической энергии. - раздел Механика, Системы отсчета. Кинематические характеристики. Виды механического движения Изолированной, Или Замкнутой, Называют Систему Тел, Взаимодействующих Только...

Изолированной, или замкнутой, называют систему тел, взаимодействующих только между собой и не взаимодействующих с телами, не входящими в систему.

Изолированной, или замкнутой, называют систему тел, взаимодействующих только между собой и не взаимодействующих с телами, не входящими в систему.

Центром масс (центр инерции) - точка, характеризующая распределение масс в механической системе. Радиус вектор центра масс системы состоящей из n точек, равен

где m_i, r_i - масса и радиус вектор i- ой точки. При движении тела системы его центр масс движется как материальная точка с массой, равной массе всего тела, к которой приложены все силы, действующие на тело.

Так как система под действием внешних сил движется, то координаты центра масс со временем меняются

кон сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы сохраняется неизменным, а центр масс движется равномерно и прямолинейно (или покоится).

Векторная сумма импульсов тел, входящих в замкнутую систему, остается неизменной при механическом взаимодействии тел внутри этой системы.

Сумма кинетической и потенциальной энергии тела называется полной механической энергией тела.

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих силами тяготения и упругости, остается неизменной.

При любых физических взаимодействиях энергия не возникает не исчезает, а только превращается из одной формы в другую.

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.