Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин

Пусть имеется случайная величина, являющаяся функцией от непрерывной случайной величины X.

Y=x(x)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величены является число:

, - плотность вероятности случайной величины.

Обоснование этой формулы.

Аппроксимируем непрерывную случайную величину Y случайной величены Y^*, которая является дискретной. Пусть числовая ось - пространство элементарных событий случайной величены X, разобьем всю числовую ось на отрезки достаточно малой длины.

x_n-1

x_n

x₁

x₀

x_n-1

x_n

2n отрезков.

Если в результате испытания случайная величена X попала в отрезок с начальной вершиной x_i, то случайная величена X^* приняла значение x(x_i) с точностью до бесконечно малой Dx - длины i-го отрезка. Вероятность того, что Y^* примет значение x(x_i) с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем Dx, тем более точно Y^* аппроксимирует Y.

Вероятность наступления x(x_i) для Y^* равна

, при эта сумма переходит в .

Тогда .

Самим показать, что все свойства мат. ожидания для дискретной случайной величены сохраняются для непрерывной случайной величены.

Доказать, что

Доказать самим, что свойство 1 и 2 для производящей функции в дискретном случае справедливы и для непрерывного.