Производная функции. Физический и геометрический смысл производной

5.

Есть две точки: x1 и x2. Разность x2 - x1 называют приращением аргумента и обозначают Δx. Разность значений функции в этих точках f(x2) - f(x1) называют приращением функции и обозначают Δf(x). То есть это величина, на которую изменилось значение функции при переходе от одной точки к другой.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

физический смысл производной заключается в том что скорость движения материальной точки в данный момент времени t равна производной от пути во времени V(t)=S'(t)

геометрический смысл производной заключается в том что производная функции f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (x0;f(x0))

f '(x)=k=tga

Задача о скорости движущейся точки.

Пусть s = s (t) представляет з акон прямолинейного движения материальной точки.

Это уравнение выражает путь s, пройденный точкой, как функцию времени t.

Обозначим через Δ s путь, пройденный за промежуток времени Δ t от момента t до t + Δ t, т. е.
Δ s = s (t + Δ t) - s (t). Отношение называется средней скоростью точки за время от t до t + Δ t.

Чем меньше Δ t, т. е. чем короче промежуток времени от t до t + Δ t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени t. Поэтому естественно ввести понятие скорости v в данный момент t, определив ее как предел средней скорости за промежуток от t до t + Δ t, когда Δ t→ 0:

Величина v называется мгновенной скоростью точки в данный момент t.

Задача о касательной к данной кривой.

Пусть на плоскости хОу дана кривая уравнением у = f (х). Требуется провести касательную к данной кривой в данной точке .

Так как точка касания дана, то для решения задачи потребуется найти только угловой коэффициент искомой касательной, т. е. tg φ — тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох (рис.).
Через точки и проведем секущую

Из рис. видно, что угловой коэффициент tg α секущей равен отношению —, где
Угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке можно найти на основании следующего определения:
касательной к кривой в точке называется прямая , угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей , когда . Отсюда следует, что

9. Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v 2.

10. достаточное условие- знак перед функцией

11. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.