Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C > 0, что " x О [ a, b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [ a, b ] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x О [ a, b ] (рис.2).

Наибольшее значение M обозначается символом max _{x О [ a, b ]} f (x), а наименьшее значение m — символом min _{x О [ a, b ]} f (x).

27) ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Если рассмотреть график функции в окрестности точки x = 0 (см. рис. справа), то ясно видно, что он как бы “разрывается” на отдельные кривые. Аналогично можно рассмотреть функцию, изображенную на рисунке слева в окрестности точки 2. Говорят, что во всех указанных точках соответствующие функции становятся разрывными.

Точка называется точкой разрыва функции y = f(x), если она принадлежит области определения функции или её границе и не является точкой непрерывности.

В этом случае говорят, что при x= x₀ функция разрывна. Это может произойти, если в точке x₀ функция не определена или не существует предел , или если предел существует, но .

Примеры.

1. Рассмотрим функцию:

Эта функция определена во всех точках отрезка [0, 4] и её значение при x = 3 равно 0. Однако, в точке x = 3 функция имеет разрыв, т.к. она не имеет предела при x = 3:

Следует отметить, что f(x) непрерывна во всех остальных точках отрезка [0, 4]. При этом в точке x = 0 она непрерывна справа, а в точке x = 4 – слева, т.к.

.

2. Как уже отмечалось, функция разрывна при x = 0. Действительно, при x = 0 функция не определена: .

3. Функция разрывна при x = 0. Действительно, . При x = 0 функция не определена.

4. Функция определена для всех значений x, кроме x = 0. В этой точке она имеет разрыв, т.к. предел не существует (рисунок см. в лекции 1).

Точки разрыва функции можно разбить на два типа.

Точка разрыва x₀ функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних конечных предела и , но они не равны между собой или не равны значению функции в точке x₀, т.е. f(x₀). Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Примеры: В первом примере точка х= 3 является точкой разрыва первого рода. В примерах 2 – 4 все точки разрыва являются точками разрыва второго рода.

5. Для функции, изображённой на рисунке точка x = 2 является точкой разрыва первого рода.

6. Функция не определена в точке x = 0. Эта точка является точкой разрыва 1-го рода, т.к. в ней существуют пределы справа и слева.

28) ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Разность

где x - также внутренняя точка области определения, называется

приращением аргумента в точке x0. Разность

называется

приращением функции в точке x0, соответствующим приращению

и обозначается

29) ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ