Интерполирование с часовыми изменениями

Необходимые для обработки астрономических наблюдений величины – координаты Солнца, часовой угол Солнца на меридиане Гринвича в 0^h всемирного времени и др. – даются в Астрономическом Ежегоднике (АЕ).

Аргументом всех этих величин является время, приводимое в АЕ через одинаковые интервалы. Каждому табличному моменту времени соответствует определенное значение координат светил или других величин, являющихся функциями времени [2].

Но изменение этих величин как функций времени происходит нелинейно и достаточно быстро, поэтому простое или линейное их интерполирование применяться не может. При нахождении значений указанных величин используется интерполирование с часовыми изменениями. Поэтому в АЕ даются изменения этих величин за промежуток времени, равный одному часу, т. е. часовые изменения.

Часовым изменением V функции f(t) называется часовая скорость изменения функции для данного момента времени. Значение функции для момента t, промежуточного между табличными t ₀ и t ₁ можно найти по формуле

F(t) = f(t ₀ ) + Vh, (1.26)

где h – промежуток интерполирования, выраженный в часах и долях часа, т. е.

h = (t – t ₀ )^h, (1.27)

V – часовое изменение, соответствующее средней скорости изменения функции в промежутке времени (t – t ₀).

С точностью, достаточной при вычислении астрономических наблюдений, производимых в геодезических целях, можно предположить, что величины V изменяются между двумя смежными табличными моментами линейно. Следовательно, среднее часовое изменение V для интервала (t – t ₀) будет равно

, (1.28)

где V_t и V ₀ – часовые изменения функции для моментов t и t ₀ соответственно.

В Астрономическом Ежегоднике интервалом времени между двумя смежными аргументами являются сутки, т. е.

t ₁ – t ₀ = 24 ^h.

Таким образом, предполагая, что часовое изменение функции между табличными моментами меняется линейно, V_t найдем по формуле

, (1.29)

где Д – разность между часовыми изменениями V_t и V ₀, т. е.

Д = V_t – V ₀.

На основании формул (1.28) и (1.29), а также помня, что h = (t – t ₀ ), имеем

,

или

. (1.30)

Теперь искомое значение функции f(t) можно определить по формуле (1.26).

Во избежание накапливания ошибок округления, при интерполировании с часовыми изменениями, так же как и при линейном, применяется интерполирование вперед и назад.