Процедуры генерации логических рядов с помощью обратных связей. Прямая и обратная задача генерации логического ряда

Уточним и формализуем данные в разделе 1.7 определения.

Постоянное атомарное высказывание - символы a, b, c…

Значения постоянных высказываний в случае классической логики высказываний - И или Л. В общем случае высказывание может иметь k значений. Значения постоянных высказываний не меняются при изменении итерации.

Переменное атомарное высказывание - символы a_i, b_i, c_i …

Сложное высказывание - высказывание, составленное из атомарных высказываний, тех или иных логических символов (например - ®, Ø, \/, &, º, в классической логике) и технических знаков (скобки, запятые) по правилам определеной логики высказываний (например - классической или рейхенбаховской).

Обратная связь - формула, описывающая способ присвоения нового значения высказыванию a_i+1, при известных старых значениях a_i по правилам определенной логики высказываний.

Записывается с помощью символа двоеточия ":". Формула содержит левую и правую часть. Слева от двоеточия записывается переменное атомарное высказывание, справа - сложное высказывание, значение которого будет присвоено переменному атомарному высказыванию в следующей итерации.

Пример.

Запись "a_i+1: a_i&b" означает: присвоить переменному атомарному высказыванию a_i+1 значение сложного высказывания a_i&b.

Система обратных связей - несколько обратных связей, меняющих свои значения одновременно на одной итерации. Система записывается путем записи в строчку всех обратных связей через точку с запятой.

Пример записи системы обратных связей:

a_i+1: a_i&b _i; b_i+1: a_i&b _i&c

Вероятность перехода – числовое значение от 0 до 1 изменения значения переменного атомарного высказывания на новое. Вероятность определяется с помощью генератора случайных чисел с равномерным распределением вероятности.

Пример.

Запись "0.8a_i+1: a_i&b" означает: присвоить переменному атомарному высказыванию b_i+1 значение сложного высказывания a_i&b с вероятностью 0.8. Ясно, что с вероятностью 0.2 обратная связь сохранит свое старое значение.

Если в обратной связи вероятность не указана, то она по умолчанию, равна 1.

Бифуркация – расщепление возможных значений атомарных высказываний с некоторой вероятностью.

Пример:

0.8a_i+1: a_i&b; 0.2a_i+1: a_i&c

Это означает следующее: в обратной связи высказывание a_i+1 принимает значение a_i&b с вероятностью 0.8, а значение a_i&c с вероятностью 0.2.

Начальные условия - значения переменных атомарных высказываний при i=0. Запись a₀ = И означает: «Присвоить начальному условию высказывания a_i значение И.

Мир (множество) начальных условий – совокупность всех комбинаций значений начальных условий.

Возможность - значения переменных атомарных высказываний при i¹0.

Мир (множество) возможностей - совокупность всех комбинаций значений возможностей в обратной связи или системе обратных связей.

Граничные условия - значения постоянных атомарных высказываний в формуле.

Мир (множество) начальных и граничных условий - совокупность всех комбинаций значений начальных условий и значений граничных условий.

Прямая задача генерации логического ряда – построить логический ряд при заданных обратных связях, граничных и начальных условиях, проанализировать все аттракторы рядов в мире начальных и граничных условий.

Обратная задача генерации логического ряда – по логическому ряду реконструировать тип логики и систему обратных связей, которая сгенерировала этот ряд истинности.

Пример решения прямой задачи генерации.

Дана система высказываний, построенная с помощью классической логики высказываний:

ai+1: (ai&bi) ®c; bi+1: Ø(c\/ai) ®bi

Граничные условия: c есть Л.

Исследуем поведение системы при разных начальных условиях.

Рассмотрим мир начальных условий с фиксированными граничными условиями, и мир возможностей, обозначив одинаковыми цифрами одинаковые возможности и комбинации начальных условий:

Таблица 2.2.1 Исследование логического ряда

в мире начальных условий

Видно, что мир возможностей уже при первой итерации беднее мира начальных условий – в нем нет варианта 4.

Исследуем каждую комбинацию начальных условий.

Пусть a0 есть И, b0 есть И (комбинация 1), тогда по таблице, a1 есть Л, b1 есть И и реализуется вариант 3 (такой же как a0 есть Л, b0 есть И), который опять переходит в вариант 1. Обозначим знаком “>” переход от одной возможности к другой. Схема переходов: 1>3>1>3>…

Ряд для ai есть ИРЛ. Значение bi будет истинным всегда.

Для начальных условий по набору 2 переходы будут: 2>1>3>1… Аналогично и для 3: 3>1>3>1…

Для начальных условий при варианте 4: 4>2>1>3>1…

Вывод: при всех значениях начальных условий в случае граничных условий с есть Л, наша система приходит к предельному циклу, при котором bi есть И, а аi колеблет свое значение.

Теорема 1 прямой задачи генерации.

Рассмотрим систему из n переменных высказываний k-значной логики, с вероятностью перехода 1. Такая система может иметь только два аттрактора – аттрактор первого рода или аттрактор второго рода с максимально возможным периодом длиной в knзначений.

Доказательство. Выпишем все возможные варианты переходов из мира начальных условий в возможности, используя обозначения предыдущего примера. Их всего kn. Запишем их в knстрочки:

1>1, 1>2, 1>3, …, 1> kn,

2>1, 2>2, 2>3, …, 2 > kn,

3>1, 3>2, 3>3, …, 3> kn,

…

kn>1, kn>2, kn>3, …, kn> kn.

Наличие какой-либо системы высказываний означает, что в мире возможностей одновременно не может быть двух разных переходов - из всех комбинаций переходов одновременно может реализоваться только по одной комбинации высказываний из каждой строчки.

Действительно, любое высказывание ai не может при одном и том же i иметь одновременно два значения.

Например, если у нас – в результате системы высказываний реализовался переход 1>1, то в этой системе высказываний переход из возможности 1 в возможность 2 невозможен.

Пусть Х – какое либо начальное условие из мира начальных условий (1, 2, 3…, kn), переходящее в возможность.

Назовем возможность новой, если она еще не реализовывалась в переходе, и старой, если она уже где-то встречалась.

При i=0 есть kn–1 новых возможностей, при i=1 есть kn-2 и т.д. Цикл образуется тогда, когда у нас встречается на i-q итерации старая возможность – повтор возможности. Если возможности на i и i+1 итерациях одинаковы, то образуется на цикл, а фиксированное значение. Таким образом, получается аттрактор ряда истинности первого рода.

С каждой новой итерацией количество новых возможностей уменьшается. Допустим, что у нас не встречаются старые возможности – циклы и фиксированные значения не образуются. Но тогда на на i+1 итерации число новых возможностей станет равным нулю, и мы неизбежно перейдем к старой возможности, которая образует цикл.

Таким образом, самый длинный цикл будет длину kn.

Теорема доказана.