Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Математические “монстры” - примеры и проблемыРассмотрим построение триадной кривой, которую впервые исследовал в 1904 году шведский математик Хельге фон Кох (рисунок 1.1.1). Возьмем прямолинейный отрезок длины 1. Назовем его затравкой. Разобьем затравку на три равные части длиной в 1/3, отбросим среднюю часть, и заменим ее ломаной из двух звеньев длиной 1/3 таким образом, чтобы средняя часть оказалась основанием равностороннего треугольника со стороной 1/3. Мы получили ломаную, состоящую из четырех звеньев с общей длиной 4/3 – так называемое первое поколение. Для того чтобы перейти к следующему поколению кривой Коха, надо у каждого звена аналогично отбросить и заменить среднюю часть. Соответственно, длина второго поколения будет равна 16/9, третьего – 64/27 и так далее. Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в результате получится триадная кривая Коха. Рассмотрим свойства этой кривой. Во-первых, эта кривая не имеет длины – как мы убедились, с увеличением числа поколений ее длина стремится к бесконечности. Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную – каждая ее точка является точкой перегиба (особой точкой или сингулярностью), в которой производная не существует - эта кривая не гладкая.
Длина и гладкость – фундаментальные свойства кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и неевклидовыми геометриями типа геометрий Лобачевского или Римана. На основании этих свойств развиваются методы анализа и преобразования геометрических фигур. К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы. Поэтому, кривая Коха оказалась чудовищем – “монстром” среди гладких обитателей традиционных геометрий. Одним из первых, кто досконально начал изучать “монстров” был Карл Вейерштрасс. Вслед за Бернардом Больцано, опубликовавшем в 1851 году книгу "Парадоксы бесконечности", он привел пример функции, графиком которой была негладкая кривая, обратив внимание на то, что понятие “непрерывная функция” и “непрерывная функция имеющая в каждой точке производную” не являются тождественными. 18 июля 1872 года в докладе Берлинской академии наук Вейерштрасс доложил пример негладкой непрерывной функции. Данная функция задается рядом: W(x) = аncos (bnpx), a<1, b>1, ab>1. График этой функции (рис. 1.1.2) самоподобен, то есть, инвариантен (неизменен) при определенных преобразованиях координат (растяжения по абциссам в b раз и в 1/a раз по ординатам). В малом масштабе дублируются детали крупного масштаба, в результате этого можно говорить, что это функция никогда не сводится на малом отрезке к линии - она непрерывна, но не имеет дифференциала и производной. Функция имеет очень сложную “пилообразную” структуру - причем на “пилы” большего масштаба до бесконечности накладываются “пилы” меньшего.
Рис 1.1.2 Функция Вейерштрасса при a=0,5 b=4 на различных масштабах: иллюстрация самоподобия[1] Пример Вейерштрасса получил широкий отклик и потряс математиков. “Как интуиция может обмануть нас до такой степени?” - восклицал Пуанкаре. Бурбаки так описывает период появления “монстров”: “...примеры кривых, не имеющих касательных, построенные Больцано и Вейерштрассом, положили начало патологическим явлениям в математике. В течение целого века мы видели столько чудовищ такого рода, что почувствовали некоторое пресыщение, и чтобы нас действительно удивить, надо было бы показать нам нагромождение самых нелепых уродств. У большинства математиков XIX в. чувство отвращения сменилось состоянием растерянности... надо было винить грубый и несовершенный характер нашей геометрической интуиции, и вполне понятно, что после этого она с полным правом была дискредитирована как средство доказательства”. “Монстры” составили своеобразную альтернативу объектам и методам евклидовой геометрии. До конца XX века эта альтернатива носила скорее негативный, чем позитивный оттенок. “Монстры” не были другой геометрией, это были скорее “темные” и “запретные” зоны геометрического анализа в которых традиционные методы не работали.
|